Scheitelpunkt aus Allgemeiner Form über QE
f(x)=4x²-24x+32 umformen in f(x)=4(x-3)²-4
Basiswissen
In der Mathematik, Physik oder Chemie: kurze Erklärung von Fachworten, Symbolen und Formeln
Worum geht es hier?
- Es geht um die Bestimmung des Scheitelpunktes von quadratischen Funktionen.
- Aus der Scheitelpunktform (SPF) kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen.
- Oft hat man aber von der Funktion erst einmal die Allgemeine Form gegeben.
- Hier geht es darum, die Allgemeine Form in die SPF umzuwandeln.
- Erklärt wird das Verfahren mit der Quadratischen Ergänzung (QE).
Was ist das Ziel?
Gegeben: Allgemeine Form f(x) = 4x² - 24x + 32
Gesucht: Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)² + e
Wie geht das?
1. Ausklammern
1. Faktor vor dem x² ausklammern
1. Zum Ausklammern eine eckige Klammer benutzen:
1. Gibt: 4[x²-6x+8]
1. Falls vor dem x² nur ein - steht, dann die -1 ausklammern
1. Falls vor x² nichts steht, Schritt 1 überspringen.
2. Quadratische Ergänzung
2. Zahl vor x halbieren und dann quadrieren gibt hier: 9
2. Dieses Ergebnis dann einmal mit + und einmal mit - hinschreiben:
2. 4[x²-6x+9-9+8]
3. Einklammern
3. Nun wird aus den ersten drei Gliedern der eckigen Klammer ...
3. eine runde Klammer mit Quadrat gemacht. Das geht immer so:
3. Hinter der eckigen Klammer sofort eine runde Klammer aufmachen: 4[(
3. Hinter die runde Klammer immer und sofort ein blankes x schreiben: 4[(x
3. Dann die Zahl vor dem x aus Schritt zwei mit Vorzeichen halbieren ...
3. und diese Hälfte mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3
3. Runde Klammer zumachen und quadrieren: 4[(x-3)²
3. Zweite und dritte Zahl nach dem x aus Schritt 2 ...
3. mit Vorzeichen anfügen: 4[(x-3)²-9+8
3. Eckige Klammer zumachen: 4[(x-3)²-9+8]
3. Strichrechnung (plus/minus) in eckiger Klammer ausführen: 4[(x-3)²-1]
4. Eckige Klammer auflösen
4. Das ist dasselbe wie ausmultiplizieren:
4. f(x) = 4(x-3)² - 4
5. Scheitelpunkt ablesen:
5. Zahl nach dem x in der Klammer nehmen und das Vorzeichen umdrehen:
5. Im Beispiel: -3 und Vorzeichen umdrehen gibt +3 oder kurz 3.
5. Das ist der x-Wert des Scheitelpunktes.
5. Zahl nach der Klammer mit Vorzeichen gibt den y-Wert, hier: -4
5. Also: SP(3|-4) ✔
