Nullstellen von quadratischen Funktionen über QE
Anleitung
Basiswissen
Man hat eine quadratische Funktion wie z. B. f(x) = 2x²-8x+6 und sucht davon die Nullstellen. Eines - von mehreren möglichen - Verfahren verwendet die sogenannte Quadratische Ergänzung, kurz die QE. Das ist hier mit einem Beispiel Schritt-für-Schritt erklärt.
Wozu ist das Verfahren gut?
- Man hat so etwas wie f(x) = 2x²-8x+6
- Das ist eine quadratische Funktion in Normalform.
- Von ihr will man die Nullstellen bestimmen.
- Tipp: statt f(x) darf auch y stehen.
1. Schritt
- Nullsetzen:
- Setze f(x) gleich 0, schreibe also für f(x) die Zahl 0.
- Das gibt: 0=2x²-8x+6
2. Schritt
- Leitfaktor entfernen:
- Eine Zahl vor dem x² nennt man Leitfaktor.
- Wenn einer vorhanden ist, muss man ihn erst entfernen
- Hier ist der Leitfaktor die 2, also alles durch 2 teilen.
- Das gibt: 0=x²-4x+3
3. Schritt
- Leerklammer einfügen:
- Als Schema hinschreiben:
- 0 = (x ___ )² - ___
4. Schritt
- Klammerleerstelle ausfüllen:
- Nimm die Gleichung am Ende von Schritt 2.
- Nimm die Zahl vor dem x.
- Das ist hier sie -4.
- Halbiere sie, das gibt -2.
- Schreibe das in die Leerstelle von der Klammer.
- Gibt: 0 = (x-2)² - ___
5. Schritt
- Endleerstelle ausfüllen:
- Nimm die Gleichung am Ende von Schritt 2.
- Nimm die Zahl vor dem x, das wäre wieder die -4.
- Halbiere sie, das gibt -2, dann quadriere das Ergebnis.
- Also -2 mal -2, das gibt 4.
- Ziehe das ab von der Zahl ohne x am Ende von Schritt 2.
- Zahl am Ende von Schritt 2 ist die 3, also 3-4, gibt -1.
- Das kommt in die Leerstelle am Ende.
- Zwischenergebnis: 0=(x-2)²-1
6. Schritt
- Nach x auflösen:
- 0=(x-2)²-1 | +1
- 1=(x-2)² | +- Wurzel
- +-Wurzel(1) = x-2 | +2
- +-Wurzel(1)+2 = x
7. Schritt
- Zwei Ergebnisse berechnen:
- Das +- meint: man soll einmal mit + und einmal mit - rechnen.
- Das gibt dann zwei Ergebniss für x, also x1 und x2:
- x1=+Wurzel(1)+2, also x1=+1+2 oder x1=3.
- x2=-Wurzel(1)+2, also x2=-1+2 oder x2=1.
8. Schritt
- Antwort hinschreiben:
- Nullstellen sind:
- x1=1
- x2=3