Basiswissen

Als Freiheitsgrad im allgemeinen Sinn bezeichnet man jeden „unabhängigen veränderlichen inneren oder äußeren Parameter eines Systems“. Dabei muss zusätzlich gelten, dass das System eindeutig durch die „Spezifizierung der Parameter“ bestimmt ist, b) „wird ein Parameter weggelassen, so ist das System nicht mehr eindeutig bestimmt“ und c) „jeder Parameter kann verändert werden, ohne dass sich die anderen Parameter verändern“.^[1] Diese allgemeine Definition wird dann nach verschiedenen Fachgebieten weiter präzisiert.

Freiheitsgrade nach verschiedenen Fachgebieten

Freiheitsgrade in der Mechanik

Speziell in der Mechanik steht ein Freiheitsgrad für eine frei wählbare Bewegungsmöglichkeit, die von anderen solchen Möglichkeiten unabhängig ist. Unabhängig heißt, dass man den Wert nicht aus Kenntnis eines andere Wertes berechnen kann. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist dann auch gleich der Anzahl der mindestens nötigen Zahlen, um den räumlichen Zustand des Systems eindeutig zu beschreiben.

Für die Lage eines PUNKTES auf einer LINIE gibt es einen Freiheitsgrad. Denkt man sich als Beispiel einer Linie etwa eine Zahlengerade, so genügt die Angabe einer reellen Zahl, um die Lage des Punktes dort eindeutig zu beschreiben.

Für die Lage eines PUNKTES in einer EBENE gibt es zwei Freiheitsgrade. Als Ebene kann man sich zum Beispiel ein xy-Koordinatensystem vorstellen. Der Punkt kann dort zum Beispiel seine x-Koordinate ändern, ohne dass sich dabei auch die y-Koordinate ändern muss. Das ist bei jeder Bewegung parallel zur x-Achse ist der Fall. Umgekehrt kann auch die y-Koordinaten geändert werden, ohne dass sich die x-Koordinaten ändern muss. Kennt man eine der zwei Koordinaten, so kann man daraus nicht die jeweils andere Koordinate berechnen. Daher sind die zwei Koordinaten voneinander unabhängige Parameter und es gibt zwei Freiheitsgrade

Für die Lage eines PUNKTES im RAUM gibt es drei Freiheitsgrade, solange keine weiteren Einschränkungen gelten. Kennt man zum Beispiel die x- und y-Koordinate eines Punktes, so kann man daraus nicht den Wert der z-Koordinate bestimmen.

Für einen starren KÖRPER im RAUM gibt es insgesamt drei Freiheitsgrade, nämlich die drei Freiheitsgrade, die seine Lage im Raum eindeutig beschreiben sowie drei weitere Freiheitsgrade der Rotation.

Freiheitsgrade in der Thermodynamik

In der Thermodynamik bezeichnen die Freiheitsgrade die Anzahl der voneinander unabhängigen Zustandsgrößen, die man benötigt, um ein System eindeutig zu beschreiben^[4].

Fußnoten

[1] Der Artikel "Freiheitsgrad". Wikipedia. Abgerufen am 2. Juli 2024. Online: https://www.rhetos.de/html/lex/anfuehrungszeichen.htm

[2] Ein Freiheitsgrad "im engen mechanischen Sinne jede Bewegungsmöglichkeit eines Körpers oder materiellen Systems, die in der Kinematik dieses Systems durch eine unabhängige (verallgemeinerte) Koordinate dargestellt wird; im weiteren Sinne jeder unabhängige veränderliche innere oder äußere Parameter eines Systems." Desweiteren gilt, dass die Freiheitsgrade "nicht eindeutig" sind, vielmehr "können [sie] frei gewählt werden". Weil sie aber "voneinander unabhängig sein müssen" und "gleichzeitg aber die Lage des Systmes eindeutig festlegen müssen, ist ihre Anzahl eindeutig fixiert." In: der Artikel "Freiheitsgrad". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 2. Juli 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/freiheitsgrad/5308

[3] Eine Definition im Sinne der Mechanik aus dem Jahr 1906: "Freiheitsgrade der Bewegung. Unter den Freiheitsgraden eines beweglichen Punktsystems versteht man die Zahl der voneinander unabhängigen Veränderlichen, welche die Lage des Systems zu irgend einer Zeit bestimmen. Sind die Veränderlichen nicht voneinander unabhängig, so erhält man den Freiheitsgrad der Bewegung des Systems, wenn man die Zahl der Veränderlichen um die Zahl der zwischen ihnen bestehenden Bedingungsgleichungen (endliche Gleichungen oder Differentialgleichungen) vermindert. Ein Punkt hat drei Freiheitsgrade, wenn seine Bewegung unbeschränkt ist. Ist er auf eine Fläche bezw. Kurve beschränkt, so vermindert sich die Zahl der Freiheitsgrade auf zwei bezw. einen. Eine Strecke von konstanter Länge hat höchstens fünf Freiheitsgrade, da zu ihrer Bestimmung die drei Koordinaten eines Endpunktes und zwei Richtungswinkel genügen. Ein[190] starrer Körper kann deren sechs haben, indem zu den fünf Bestimmungsstücken einer Geraden (Achse) desselben noch der Drehwinkel um die Achse tritt. Die Freiheitsgrade eines starren Körpers können in mannigfacher Weise eingeschränkt werden. Wird ein Punkt festgehalten, so hat der Körper nur mehr drei Freiheitsgrade. Wird ein Punkt gezwungen, auf einer Fläche zu bleiben, so hat der Körper noch fünf Freiheitsgrade. Zwingt man zwei, drei, vier, fünf oder sechs Punkte des Körpers auf bestimmte Flächen, so verbleiben noch vier, drei, zwei, ein oder kein Freiheitsgrad. Im letzteren Falle ist der Körper in seiner Lage bestimmt. In ähnlicher Weise schränkt die Bedingung, daß die Oberfläche des starren Körpers eine gegebene Fläche berühren soll, die Freiheitsgrade ein. Soll sie sechs Flächen berühren, so ist der Körper (z.B. der Kolben eines Gewehres, der an sechs Kissen aufliegt) festgelegt. Die gelenkigen Fangarme der Tiere (z.B. der Krebse) besitzen mindestens so viel Freiheitsgrade, um die ergriffene Beute in jede beliebige Lage (z.B. zu den Kauwerkzeugen) zu bringen. Die theoretische Untersuchung der Elementarbewegungen eines starren Körpers bei einer vorgegebenen Zahl von Freiheitsgraden gründet sich auf die Lehre vom linearen Linienkomplex oder von den Ballschen Schrauben." In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 4 Stuttgart, Leipzig 1906., S. 190-191. Online: http://www.zeno.org/nid/20006022960

[4] Freiheitsgrade im Sinne der Thermodynamik sind definiert als "die Anzahl der zur Beschreibung eines thermodynamischen Systems unabhängigenZustandsgrößen. […] Einfache Systeme, etwa ideale Gase, besitzen 2 Freiheitgrade zur vollständigen Beschreibung." Die Anzahl wird bestimmt durch die sogenannte Gibbsschen Phasenregel. In: der Artikel "Thermodynamische Freiheitsgrade". Spektrum Lexikon der Physik. Abgerufen am 2. Juli 2024. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/physik/thermodynamische-freiheitsgrade/14462

[5] Eingschränkt werden die Freiheitsgrade durch eine sogenannte "Zwangsbedingung, Bindung, Nebenbedingung, Bedingung, die dem Bewegungsablauf eines Systems von Massenpunkten oder Körpern geometrische Einschränkungen auferlegt." Als Beispiele werden etwa die Masse eine "Fadenpendels" genannt, bei dem der Abstand der Masse vom "Aufhängungspunkt fixiert" ist, eine "auf einem Draht gleitende" Perle oder eine auf einer Fläche rollende Kugel. Bei starren Körpern kann man als Zwangsbedingung auffassen, dass die "gegenseitigen Abstände der Massenelemente […] fixiert sind". In: Spektrum Lexikon der Physik. 6 Bände. Greulich, Walter (Hrsg.) Spektrum Akademischer Verlag. Heidelberg, Berlin. 1998-2000. Dort der Artikel "Zwangsbedingung". Siehe auch Zwangsbedingung ↗