Basiswissen

Hier wird anhand eines Videos beschrieben, wie man die Höhe eines Bauwerks über den freien Fall von geeigneten Gewichten abschätzen kann.

Grundidee

Kompakte Sandbomben fallen von einer Brücke auf den Boden. Dabei wird die Dauer des freien Falls in Sekunden gemessen. Darüber kann man anschließend die Höhe der Brücke berechnen.

FORMEL

s = ½·a·t²

MIT

s = die Länge der Strecke [des Falls] ↗

a = etwa 9,81 m/s² Erdfallbeschleunigung ↗

t = die Zeit, die Falldauer ↗

Der Feldversuch im Video

Das Video zeigt die geometrische Höhenmessung sowie auch die Messung der Falldauern von Sandbomben und Holzstöcken.

Abschätzungen der Höhe

Die wahre Höhe der Geländeroberkante der Brücke über dem Boden ist nicht bekannt. Man könnte sie zum Beispiel aus einer Bauzeichnung oder aus einer Längenmessung mit einem herabhängenden Maßband bestimmen. Beide Möglichkeiten standen aber nicht zur Verfügung. Stattdessen wurde die Höhe über zwei weitere Schätzungen grob bestimmt. Am Ende stimmten alle drei Abschätzung bis auf etwa 10 Zentimeter Abweichung überein.

Die Stufenmethode

In einem Feldversuch wurde zunächst die Anzahl der Stufen von unten bis oben gezählt: es waren 65 Stufen. Die Höhe einer Stufe wurde zu knapp 11,5 Zentimeter bestimmt. 65 mal 11,5 Zentimeter gibt 747,5 Zentimeter. Hinzu kommt etwa ein Meter an Geländerhöhe. Damit kommt man auf eine Höhe der Geländeroberkante über dem Boden von rund 8,5 Metern.

Radfahrer-Vergleich

Im Film zu sehen ist auch ein Fahrradfahrer, der auf einem Radweg gerade an der Fußgängerbrücke vorbeifährt. Die Höhe des Kopfes des Radfahrers über dem Boden wird auf etwa 1,7 Meter geschätzt. Diese Höhe passt etwa 5 mal in die gesamte Höhe vom Boden bis zur oberen Geländerkante der Brücke. Damit kommt man auch mit dieser Schätzung auf eine Höhe von etwa 8,5 Metern.

Seilmessung

Ein dehnungssteifes Packseil mit einem Metallgewicht am unteren Ende wurde von der Oberkante des Geländers bis auf den Boden herab gelassen. Anschließend wurde die herabhängende Seillänge auf einem waagrechten Weg gestreckt ausgelegt. Die Länge wurde mit Zollstöcken gemessen. Die so gemessene Höhe der Geländeroberkante über dem Boden lag recht genau bei 9 Metern.

Impaktecholot

Ein Erdklumpen fiel senkrecht von oben auf den Boden. Gemessen wurde die Zeitdauer bis zum Eintreffen des ersten Geräusches des Aufschlags (Impakt) des Erdklumpens auf dem Boden. Die so bestimmte Höhe lag bei 9,2 Metern. Siehe dazu den ausführlichen Artikel zum Impaktecholot ↗

Höhenmessung über freien Fall

Aus Papiertüten wurden drei Sandbomben gefertigt. Dabei hatten diese näherungsweise eine Stromlinienform sowie einen stabilisierenden Schwanz. Die Zeitmessung erfolgt über den Zeitstempel des Videobearbeitungsprogramms. Zusätzlich wurde die Frames per Second (Bildwiederholungsrate) stichprobenartig ausgewertet. Das Video wurde mit 25 Bilder pro Sekunde aufgenommen.^[2]

1. Sandbombe: 1,32 Sekunden Falldauer

2. Sandbombe: 1,36 Sekunden Falldauer

3. Sandbombe: 1,32 Sekunden Falldauer

4. Holzstöcke: 1,40 Sekunden Falldauer

Die Messung der Falldauer der Holzstöcke diente der Abschätzung, wie stark der Einfluss der Luftreibung ist. Die Holzstöcke schienen etwas länger zu fallen, aber das kann auch noch im Bereich der Messungenauigkeiten liegen.

Die Berechnung der Fallhöhe

FORMEL

s = ½at²

GEGEBEN

a = 9,81 m/s²

t = 1,33 s (gemittelt)

EINSETZEN

s = ½·9,81·1,33² m

s = 8,68 m (gerundet)

Tipps zu den Sandbomben

Die Sandbomben wurden mit Einkaufstüten aus Papier gefertigt. Ausreichend Sand findet man an leicht zugänglichen Stellen des Mains in ausreichender Menge. In einer Sandbombe war in etwa die Menge Sand wie sie dem Volumen einer Faust entspricht. Gegenüber Steinen oder anderen festen Gegenständen haben die Sandbomben den Vorteil, dass sie beim Aufprall auf dem Boden keine Schäden verursachen, etwa am Asphalt eines Weges oder auf Steinplatten.

Übersicht der Ergebnisse

Schätzung über Radfahrerhöhe: 8,5 m

Schätzung über Stufen und Geländer: 8,5 m

Direkte Messung über Lotseil: 9,0 m

Akustischer Fallversuch: 9,2 m Impaktecholot ↗

Optischer Fallversuch: 8,7 m

Fehlerabschätzung

Am zuverlässigsten scheint die Messung über die Länge des herabhängenden Seils. Die wahre Höhe der Geländeroberkante über dem Boden sollte also recht nahe bei 9 Metern liegen. Die Abweichungen der zwei geometrischen Abschätzung über die Höhe des Radfahrers sowie die Höhe der einzelnen Stufen kann über Ungenauigkeiten von Schätzungen und Messungen erklärt werden. Die Abweichungen der beiden Fallversuche lassen sich am ehesten über die geringe zeitliche Auflösung der Stoppuhr (Timer) des Auswertungsprogrammes für Filme (Shotcut) erklären. Die zeitliche Auflösung lag bei nur 3/100 oder 0,03 Sekunden. Das entspricht nach einer Falldauer von 1,4 Sekunden immerhin einer Strecke von rund 0,42 Zentimtern. In etwa diesem Bereich liegen auch die Abweichungen der verschiedenen Messungen vom wahren Wert.

Fazit

Als zuverlässigster Wert können die 9 Meter aus der Höhenmessung mit dem dehnuntssteifen Seil betrachtet werden.

Fußnoten

[1] Das Video entstand am 16. Oktober 2024 an der Staustufe Mühlheim am Main, gegenüber Kesselstadt bei Hanau. Gemessen wurde die Höhe der oberen Geländerkante der obersten Etage der Überführung gegenüber dem umliegenden Gelände.

[2] Die Lumix-Kamera nahm in jeder Sekunde 25 Bilder auf. Man spricht von der sogenannten Bildwiederholrate, auf Englisch auch als frames per second (fps) bezeichnet. Jedes Bild deckte damit einen Zeitraum von 1/25 Sekunde oder 0,04 Sekunden ab.