f(x)=f(-x)

Achsensymmetrie

Basiswissen

Was bedeutet f(x) an sich?

• Beispiel: f(x) = 2·x+1
  

• Das Ganze ist eine Funktionsgleichung, rechts steht der Funktionsterm.
  

• Links in Klammern wird gesagt, was man rechts in den Funktionsterm einsetzen soll.
  

• Der Ausdruck f(4) beispielsweise sagt: setze rechts die 4 für x ein: 2·4+1
  

• Das was man einsetzen soll nennt man auch das Funktionsargument.
  

• f(4) sagt, also, das Argument soll 4 sein.
  

• f(x) sagt, das Argument soll x sein.
  

• Wörtlich: setze rechts für x das x ein.
  

Was bedeutet f(-x)?

• Aus dem Artikel oben sollte das klar werden:
  

• f(-x) heißt: setze rechts im Funktionsterm für x das -x ein.
  

• Für die Funktion f(x) = 2·x+1 gilt dann also:
  

• f(-x) = 2·(-x)+1
  

• Umgeformt: f(-x) = -2x+1
  

Wie überprüft man damit die Achsensymmetrie?

• f(x) = f(-x) heißt für eine Funktion wörtlich:
  

• x eingesetzt soll dasselbe ergeben wie -x eingesetzt.
  

• Beispiel: f(x) = x² + 4
  

• Man setzt x ein: x² + 4
  

• Man setzt -x ein: (-x)² + 4
  

• Man setzt gleich: x²+4 = (-x)²+4
  

• Man vereinfacht: x²+4 = (-x)·(-x)+4
  

• Man vereinfacht: x²+4 = x²+4
  

• Man sieht: links und rechts steht dasselbe.
  

• Also gilt: f(x) = f(-x)
  

• Das heißt: f(x) ist achsensymmetrisch
  

Was passiert bei nicht-achsensymmetrischen Funktionen?

• Dort wird am Ende die Gleichheit nicht aufgehen.
  

• Beispiel: f(x) = 2·x+1 (eine von links nach rechts ansteigende Gerade)
  

• Man setzt x ein: 2·x+1
  

• Man setzt -x ein: 2·(-x)+1
  

• Man setzt gleich: 2·x+1 = 2·(-x)+1
  

• Man vereinfacht: 2x+1 = -2x+1
  

• Man vereinfacht: 2x = -2x
  

• Man vereinfacht: x = -x
  

• Das hieße wörtlich: eine Zahl ist immer gleich ihrer Gegenzahl.
  

• Die einzige Zahl, für die das gilt, ist die Zahl 0.
  

• Für alle anderen Zahlen ist die Gleichung unwahr.
  

• Also: der Graph ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.