Basiswissen

Matrix mal Vektor x = Vektor x mit neuer Länge, aber mit derselben Richtung. Die Orientierung darf eine anderere sein: „Zu einer Matrix A nennen wir v einen Eigenvektor und λ einen Eigenwert, wenn Av = λv erfüllt ist.“^[2]^[3]

Definition in Worten

Man hat eine quadratische Matrix A gegeben.

Sie wird multipliziert mit einem Vektor x.

Als Ergebnis entsteht dadurch immer ein neuer Vektor.

Wenn dieser Ergebnisvektor ein Vielfaches λ des Vektors x ist, dann...

dann heißt dieser Vektor Eigenvektor.

Das Vielfache λ ist der Eigenwert.

Definition als Formel

A·x = λ·x

Legende

A = eine (notwendigerweise) quadratische Matrix

x = ein Vektor mit genau der Höhe wie A

λ = eine Zahl, der Eigenwert

Berechnung der Eigenwerte

Ist A eine (n × n)-Matrix, also eine quadratische Matrix, dann sind die Eigenwerte von A durch die Gleichung Ax = λx gegeben. Zur Berechnung konkreter Eigenwerte, verwendet man die Gleichung det(A − λI) = 0.^[3] Dabei steht I für die Einheitsmatrix^[4].

Sonstiges

Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren.

Ein Eigenvektor kann immer nur zu einem Eigenwert gehören.

Fußnoten

[1] "That value of a VARIABLE to which an OPERATION defined in that variable converges (-> CONVERGENCE). Like EQUILIBRIUM, eigen values are stable points in the domain of computation and a property of the operation. E.g., x'=(x+1)/2 converges to an eigen value of 1 (-> ITERATION)." In: Klaus Krippendorf: A Dictionary of Cybernetics. Annaberg School of Economics. University of Pennsylvania. 1986. Online: https://asc-cybernetics.org/publications/Krippendorff/A_Dictionary_of_Cybernetics.pdf

[2] "Zu einer Matrix A nennen wir v einen Eigenvektor und λ einen Eigenwert, wenn Av = λv erfüllt ist." In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004

[3] "Ist A eine (n × n)-Matrix, so werden die Eigenwerte von A durch die Gleichung Ax = λx beschrieben. Um die Eigenwerte konkret berechnen zu können, verwendet man die charakteristische Gleichung det(A − λI) = 0". In: der Artikel "Eigenwertgleichung". Spektrum Lexikon der Mathematik. Abgerufen am 12. Oktober 2025. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/eigenwertgleichung/2537

[4] Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix bei der alle Einträge auf der Hauptdiagonalen (oben links nach unten rechts) eine Eins sind und alle anderen Einträge sind Nullen. Siehe auch Einheitsmatrix ↗