e annähern
Näherungsverfahren für 2,71…
Basiswissen
e ist die Eulersche Zahl, etwa 2,718. Die Nachkommstellen setzen sich unendlich fort ohne je dabe ein erkennbares Muster zur erzeugen. Hier werden kurz Methoden zur schrittweisen Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen vorgestellt.
Kurzlösung
- In eine Funktionsgleichung kann man beliebige Zahlen für x einsetzen.
- Gedanklich kann man Richtung unendlich immer größere Zahlen einsetzen.
- Was dann für f(x) rauskommt, nennt man den Grenzwert für x gegen unendlich.
- Bei manchen Funktionen ist dieser Grenzwert die Eulersche Zahl e:
Näherungsfunktionen
a) f(x) = (1+1/x)^x
b) f(x) = (1+x)^(1/x)
c) f(x) = n/[(n!)^(1/n)]
Beispiel a)
x = 1 gibt f(x) = 2,00000
x = 10 gibt f(x) = 2,59374
x = 100 gibt f(x) = 2,70481
x = 1000 gibt f(x) = 2,71692
x = 10000 gibt f(x) = 2,71814
Die Ergebnisse sind alle auf die fünfte Nachkommastelle abgeschnitten. Man sieht, je größer der eingesetzte x-Wert wird, desto mehr nähert sich der Funktionswert f(x) dem tatsächlichen Wert der Eulerschen Zahl e an.
Legende
^ Hochzeichen ↗
x ⭢ Beliebige reelle Zahl, unabhängige Variable
n ⭢ Beliebige natürliche Zahl größer Null, unabhängige Variable
e Eulersche Zahl ↗
! Fakultät ↗