Stationäre Verteilung über LGS


Bestimmung


Basiswissen


Um die Verteilung einer Stationären Verteilung zu berechnen, bevor diese eintritt, kann man ein Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen. Die Lösung dieses LGS sagt einem dann die genaue Verteilung.

Allgemein


◦ Die 1. Gleichung beschreibt wie viel die einzelnen Mengen zusammen ergeben.
◦ Danach wird für jede Menge eine eigene Gleichung aufgestellt.
◦ Hierbei wird ausgenutzt, dass in einer Stationären Verteilung für jede Menge gilt: Das was von einer Menge auf die anderen geht, kommt von den anderen im gleichen Maße zurück.
◦ Nun hat man ein LGS, dass es nur noch zu lösen gilt. (Wir haben eine Gleichung mehr als Variablen. - Diese Gleichungen ist wichtig und darf nicht einfach weggelassen werden. Mithilfe von z.B. dem Gaußalgorithmus wird die letzte Gleichung zu 0=0 und kann danach ignoriert werden. )

Beispiel für 2 Mengen


◦ Es gibt 2 Haufen mit Kubikzentimeterwürfeln. In Haufen A sind zu Beginn 60 Würfel und in Haufen B 20.
◦ In jedem Intervall gehen von A 20 % nach B.
◦ In jedem Intervall gehen auch von B 10 % nach A
◦ Die 3 Gleichungen für das LGS lauten
◦ 1. x+y = 80 x+y müssen 80 ergeben, da kein Würfel bis zur Stationären Verteilung dazu kommt oder vorloren geht
◦ 2. 0,2·x = 0,1·y Für Haufen A: Anzahl der Würfel die von A weggehen = Anzahl der Würfel die nach A kommen
◦ 3. 0,1·y = 0,2·x Für Haufen B: Anzahl der Würfel die von B weggehen = Anzahl der Würfel die nach B kommen
◦ x ist die Anzahl der Würfel von A in der Stationären Verteilung und y die Anzahl der Würfel von B in der Stationären Verteilung

Da die Gleichungen für Haufen A und Haufen B gleich sind, kann eine von den beiden weggelassen werden
Formt man nun die Geichungen um erhält man als lineares Gleichungssystem:

I x + y = 80
II 0,2x - 0,1y = 0

◦ Das Ergebniss ist gerundet x = 27 und y = 53
◦ Siehe auch => LGS lösen

Beispiel für 3 Mengen


◦ Es gibt 3 Haufen mit Kubikzentimeterwürfeln. In Haufen A sind zu Beginn 60 Würfel und in Haufen B 40 und in Haufen C 20.
◦ In jedem Intervall gehen von A 20 % nach B.
◦ In jedem Intervall gehen auch von B 10 % nach A
◦ Die 4 Gleichungen für das LGS lauten
◦ 1. x+y+z = 120 x+y müssen 80 ergeben, da kein Würfel bis zur Stationären Verteilung dazu kommt oder vorloren geht
◦ 2. 0,6·x = 0,1·y+0,4·z Für Haufen A: Anzahl der Würfel die von A weggehen = Anzahl der Würfel die nach A kommen
◦ 3. 0,3·y = 0,2·x+0,5z Für Haufen B: Anzahl der Würfel die von B weggehen = Anzahl der Würfel die nach B kommen
◦ 3. 0,9·z = 0,4·x+0,2z Für Haufen C: Anzahl der Würfel die von C weggehen = Anzahl der Würfel die nach C kommen
◦ x,y und z beschreiben hier die gesuchten Mengen in der Stationären Verteilung
◦ Umgeformt erhält man:

I x + y + z = 120
II -0,6·x + 0,1·y + 0,4·z = 0
III 0,2·x - 0,3·y + 0,5z = 0
IV 0,4·x - 0,9·z + 0,2z = 0

Löst man nun dieses Lineare Gleichungssystem mit z. B. dem Gauß-Algorithmus enthält man als Ergebnis für x = 29 , y = 64 , z = 27. Siehe auch => Gauß-Algorithmus

Mehr als 3 Mengen?


Bei mehreren Mengen ist dieses Verfahren allerdings zu aufwändig. Deswegen wird hierfür auch eine Übergangsmatrix verwendet. Mit dieser kann man nicht nur die Verteilung der stationären Verteilung berechenen, sondern auch die Verteilung nach jedem Schritt. Siehe dazu auch => stationäre Verteilung [Matrizenrechnung]