Nebenbedingung
Beispiele
Definition
Von einer Nebenbedingung spricht man im Zusammenhang mit einer sogenannten Extremwertaufgaben. Zu einer Aufgabe kann es mehrere Nebenbedingungen geben oder auch nur eine. Eine Nebenbedingung ist eine Gleichung, bei mindestens zwei Variablen von der rechten Seite der Hauptbedingung vorkommen. Zusätzlich muss eine Nebenbedingung noch mindestens eine Information enthalten, die man in der Hauptbedingung noch nicht verwendet hat.
Grundidee einer Nebenbedingung
Bei sogenannten Extremwertaufgaben, auch Optimierungsaufgaben, im Sinne der Analysis hat man am Anfang oft eine sogenannte Hauptbedingung. Das ist eine Gleichung, die oft zwei oder mehr Variablen (Unbekannte)
zumMehr dazu im Artikel Extremwertaufgaben über Analysis ↗
Eigenschaften Nebenbedingung
- Das Wort Bedingung heißt hier so viel wie Gleichung.
- Eine Gleichung ist eine besondere Form einer Bedingung ↗
- Die Nebenbedingung kann aus einer oder mehreren Gleichungen bestehen.
- Wenn die Nebenbindung aus mehreren Gleichungen besteht ist sie auch ein LGS [Gleichungssystem] ↗
- Sie enthält mindestens eine Information, die in der Hauptbedingung noch nicht verwendet wurde.
- Die Nebenbedingung enthält alle Variablen (Unbekannten) aus der Hauptbedingung ↗
Beispiel I
- Für ein Rechteck soll der Flächeninhalt A möglicht groß werden.
- Der Flächeninhalt soll möglichtst groß werden, also: die Zielgröße ist: A
- Der Umfang des Rechtecks soll genau 900 Zentimeter betragen.
- Die Hauptbedingung: A = Länge mal Breite oder kurz: A = a · b
- Die Nebenbedingung: 2a + 2b = 900
Beispiel II
- Für ein Rechteck soll der Umfang möglichst klein gemacht werden.
- Der Umfang soll möglichtst klein werden, also: die Zielgröße ist: U
- Der Flächeninhalt ist vorgegeben und soll bei genau 800 cm² liegen.
- Die Hauptbedingung: U = 2 · Länge + 2 mal Breite oder kurz: U = 2a + 2b
- Die Nebenbedingung ist: a·b = 800
Sinn einer Nebenbedingung
- Mit der Hauptbedingung hat man eine erste Formel zur Lösung des Problems.
- Man kümmert sich zunächst nicht darum, welche und wieviele Variablen rechts stehen.
- Ziel ist es jedoch, die Anzahl der Variablen rechts auf eins herunterzubekommen.
- Mit den Nebebedingungen stellt man Gleichungen zwischen diesen Variablen auf.
- Man hat dann zusammen mit der Hauptbedingung ein Gleichungssystem ↗
- Man löst jede Nebenbedingung nach einer anderen Variablen auf.
- Auflösen heißt: diese Variable steht links alleine vom Gleichzeichen.
- Dann ersetzt man die Buchstaben aus der Hauptbedingung durch diese Terme.
- Dadurch hat man am Ende in der Hauptbedingung rechts nur noch eine Variable stehen.
- Wenn rechts in der Hauptbedingung nur noch eine Variable steht, nennt man sie auch die Zielfunktion.
- Wie es dann weitergeht steht unter Zielfunktion ↗