Extremwertaufgaben über Analysis


Lösungsschema


Basiswissen


Extremwertaufgaben sind spezielle Optimierungsaufgaben. Man kann sie oft über die 1. und 2. Ableitung lösen. An einem gerechneten Beispiel wird ein Lösungs-Schmema erklärt, dass für fast alle Aufgaben von diesem Typ ein Ergebnis liefert. Das Verfahren geht über 6 Schritte.

1. Zielgröße festlegen


◦ Die Zielgröße ist das, was mini- oder maximal werden soll.
◦ Buchstaben für die Zielgröße festelegen, z. B. ein großes A für eine Fläche.
◦ Irgendeine eine flache Fläche, z. B. Rechteck: A
◦ Von einem Körper, z. B. Quader, die Oberfläche: O
◦ Von einen Körper, z. B. Zylinder, das Volumen: V
◦ Siehe auch => Zielgröße

2. Hauptbedingung aufstellen


◦ Die Hauptbedingung ist eine Formel.
◦ Links vom Gleichzeichen steht nur die Zielgröße.
◦ Rechts steht eine Formel, wie man die Zielgröße berechnen könnte.
◦ Diese Formel darf rechts mehrere Unbekannte haben.
◦ Umgebe jede einzelne Unbekannte mit einer Klammer.
◦ Siehe auch => Hauptbedingung

0. Zwischengedanke


◦ Gleich soll die Zielfunktion erstellt werden.
◦ Die Zielfunktion ist wie die Hauptbedingung, ...
◦ aber sie darf rechts nur eine Unbekannte stehen haben.
◦ Das hinzukriegen ist die Aufgabe der Nebenbedingung.

3. Nebenbedingung aufstellen


◦ Man nimmt die rechtsseitigen Unbekannten der Hauptbedingung.
◦ Man sucht und formuliert irgendeine formelhafte Beziehung zwischen ihnen.
◦ Man sucht also eine Formel, in der Unbekannten vorkommen.
◦ Das nennt man dann die Nebenbedingung.
◦ Die Nebenbedingung jetzt nach irgendeiner der Unbekannten umstellen
◦ Umstellen meint: diese Unbekannte steht am Ende links alleine.
◦ Siehe auch => Nebenbedingung

4. Zielfunktion aufstellen


◦ Man verbindet jetzt Haupt- und Nebenbedinung über das => Einsetzungsverfahren
◦ Man setzt dazu den Term rechts aus der umgestellen Nebenbedingung für die ...
◦ entsprechende Unbekannte aus der Hauptbedingung ein.
◦ Jetzt hat man rechts in der Hauptbedinung nur noch eine Unbekannte.
◦ Ab jetzt heißt die Hauptbedingung dann Zielfunktion.
◦ Siehe auch => Zielfunktion

5. Globale Extrempunkte bestimmen


◦ Wenn man die Zielfunktion hat, dann bestimmt den Definitionsbereich:
◦ Lege den kleinsten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
◦ Lege den größten sinnvoll möglichen Wert für die Unbekannte fest.
◦ Der Definitionsbereich sind alle Zahlen vom kleinsten bis größten Wert.
◦ Dann bilde von der Zielfunktion die erste Ableitung f'(x)
◦ Globalen Hoch- oder Tiefpunkt (je nach Fragestellung) bestimmen.
◦ Global meint hier: innerhalb des gesamten Definitionsbereiches.
◦ Für Maxima siehe => Globalen Hochpunkt bestimmen
◦ Für Minima siehe => Globalen Tiefpunkt bestimmen
◦ Als Ergebnis hat man dann eine Extremstelle.
◦ Das ist der x-Wert der Unbekannten.

6. Restliche Unbekannte bestimmen


◦ Man nimmt den Wert der in 5 bestimmten Unbekannten.
◦ Man setzt ihn in die Nebenbedingung ein.
◦ Man stellt die Nebenbedingung um nach der anderen Unbekannten.
◦ Damit kann man ihren Wert bestimmen.

7. Extremwert bestimmen


◦ Die Werte alle Unbekannten setzt man jetzt in die Hauptbedingung ein.
◦ Das gibt den gesuchten Extremwert (maximal oder minimal) der Zielgröße.

8. Antwort


◦ Man schreibt die gefundenen Werte für die Unbekannten ...
◦ und für die Zielgröße in einem Antwortsatz auf.

Wo steht ein Zahlenbeispiel?


◦ Das Standardbeispiel ist die Maximierung einer Weidefläche.
◦ Es ist vorgerechnet auf => Weideflächenmaximierung über Hochpunkt