Mittelwertsatz der Integralrechnung
Definition
Basiswissen
Arithmetisches Mittel von Funktionswerten ist gleich dem Integral dividiert durch die Breite des Intervalls.
Definition
- Mittelwert meint hier ein arithmetisches Mittel ↗
- Und zwar: das arithmetische Mittel von Funktionswerten.
- Funktionswerte sind die f(x)- oder y-Werte einer Funktion.
- Mehr unter Mittelwert von Funktionswerten ↗
Intervall
- Man berechnet den Mittelwert immer für ein geschlossenes Interfall.
- Intervall meint: von einem x-Wert links bis zu einem x-Wert rechts.
- Den linken x-Wert nennt man meistens a, den rechten x-Wert b.
- Geschlossen heißt: die Randwert gehören zum Intervall dazu.
- Siehe auch geschlossenes Intervall ↗
Berechnung
- Man berechnet das bestimmte Integral von f(x) von a bis b.
- Man dividiert das Ergebnis durch die Differenz b-a.
- Das Ergebnis ist der Mittelwert der Funktionswerte.
- Siehe auch Bestimmtes Integral berechnen ↗
Anschaulich
- Der gesuchte Mittelwert ist durchschnittliche Höhe von f(x).
- Diese durchschnittliche könnte man als waagrechte Linie eintragen.
- Sie ist dann die Länge eines Rechteckes, das von a bis b geht.
- Die Höhe des Rechteckes ist der y-Wert dieser Waagrechten Linie.
- Die Rechteckfläche ist flächengleich mit der Fläche von f(x) von a bis b.
- Das Integral berechnet zunächst die Fläche von f(x) von a bis b.
- Dieser Flächeninhalt ist gleich dem der Rechteckfläche.
- Von der Rechteckfläche ist die Länge bekannt: b-a.
- Man dividiert also die Rechteckfläche durch b-a.
- Das Ergebnis ist die gesuchte Rechteckhöhe.
- Sie ist gleich dem gesuchten Mittelwert.
