Kurventangente
Für Graphen
Basiswissen
Kurve ist ein Synonym für den Graphen einer Funktionsgleichung. Eine Tangente davon meint immer: die Tangente an genau einem Punkt auf dem Graphen. Es werden verschiedene Arten unterschieden.
Definition einer Tangente von einer Kurve (Graph)
- Die Definition gehört in das Gebiet der Analysis.
- Kurventangente meint: eine Tangente an einem Funktionsgraphen f(x).
- Sie gehört immer zu einem bestimmten Punkt des Graphen von f(x).
- Die Tangente geht durch diesen Punkt[1][3][5], den Berührpunkt ↗
- Die Tangente hat in diesem Punkt dieselbe Steigung wie der Graph[5].
- Die Tangentensteigung m ist dort gleich der Steigung f'(x) des Graphen.
Darf die Tangente den Graphen schneiden?
- Ja. Eine Tangente t kann den Graphen auch schneiden.
- Beispiel: der Graph f(x)=x³ hat bei x=0 die Steigung 0.
- Die Tangente dort ist dann eine Gerade mit der Steigung 0.
- Diese Gerade schneidet den Graphen von f(x) an der Stelle x=0.
- Da aber t und f(x) dort dieselbe Steigung haben, ist die t eine Tangente.
- Entscheidend ist alleine: die Steigung muss in einem Punkt gleich sein.
- Das klassische Beispiel hierfür ist die sogenannte Satteltangente ↗
Was genau ist ein Berührpunkt, was heißt berühren?
Viele Definitionen einer Tangente verwenden das Wort Berührpunkt[7] oder sprechen davon, dass die Tangente eine Kurven (einen Funktionsgraphen) in einem Punkt berührt[5], daher kommt auch das Synonym Berührende für die Tangente[2]. Die Definition ist jedoch nicht einheitlich. Nach manchen Definitionen darf die Tangente t am Berührpunkt nicht von einer Seite der gegebenen Kurve f auf die andere Seite von f wechseln, den Graphen von f also nicht schneiden, also "ganz auf einer Seite der Kurve liegt[2]". Anderen Autoren zufolge ist das aber für einen Berührpunkt doch erlaubt, die Tangente darf also den Graphen von f auch echt schneiden[7]. Das Spektrum Lexikon der Mathematik unterscheidet hier passend eine "Berührung ohne Überkreuzung" und eine "Berührung mit Überkreuzung"[7]. Ein Beispiel wo diese Unterscheideung wichtig ist, ist der Graph von f(x)=x³. Dieser Graph hat im Punkt (0|0) auch die Steigung 0. Nach der ersten Definition (ohne Überkreuzung), hätte der Graph von f dort keine Tangente, weil die Tangente den Graphen dort echt schneiden würde. Nach der zweiten Definition hätte f dort aber eine Tangente (nämlich die x-Achse als Gerade), denn die zweite Definition erlaubt ja, dass die Tangente den Graphen schneidet. Siehe mehr dazu unter Berührpunkt ↗
Darf es zwei Berührungspunkte geben?
- Ja. Der Graph von f(x)=x³ hat im Punkt P(-1|1) die Steigung 3.
- Die Tangente t geht auch durch (-1|1) und hat dort die Steigung 3.
- t und f(x) haben dann einen weiteren Schnittpunkt weiter rechts.
- Trotzdem ist t eine Tangente von f(x) am Punkt (-1|1).
- Entscheidend ist alleine: die Steigung muss in einem Punkt gleich sein.
Beispiele für besondere Tangenten von Kurven (Graphen)
Wie bestimmt man eine Tangente t?
- Man bestimmt zunächst den Punkt P auf dem Graphen von f(x).
- Durch diesen Punkt soll dann auch die Tangente gehen.
- (Der Punkt ist oft auch bereits gegeben.)
- Dann bestimmt man die Steigung f'(x) an genau diesem Punkt.
- Das ist dann auch die Steigung m der Tangente t.
- Man hat einen Punkt und eine Steigung.
- Daraus kann man dann die Geradengleichung für t aufstellen.
- Schritt-für-Schritt-Anleitung unter Tangentengleichung aufstellen ↗
Fußnoten
- [1] 1857, Tangente mit Berührpunkt: "Tangente, in der Geometrie eine gerade Linie, welche eine krumme Linie in der Art berührt, daß sie mit dieser nur einen Punkt gemein hat und in diesem mit der Curve gleiche Richtung." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1857, Band 5, S. 409-410. Online: http://www.zeno.org/nid/20003536637
- [2] 1863, Tangente nur auf einer Seite der Kurve: "Tangente (v. lat.). 1) so v. w. Berührende, d. h. eine Gerade, welche mit einer krummen Linie einen Punkt gemein hat u. beiderseits wenigstens bis zu endlicher Entfernung verlängert ganz auf Einer Seite der Curve liegt. Man kann sie als eine Schneidende betrachten, deren beide Schneidungspunkte in einen zusammenfallen." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 17. Altenburg 1863, S. 229. Online: http://www.zeno.org/nid/20011065443
- [3] 1909, vor allem im Sinn der Analysis: "Tangente (lat., »Berührende« oder Berührungslinie) einer krummen Linie oder Kurve (s. d.) heißt jede Gerade, welche die Kurve in einem Punkte so schneidet, daß in diesem Punkte zwei Schnittpunkte der Geraden und der Kurve zusammenfallen." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 19. Leipzig 1909, S. 306-307. Online: http://www.zeno.org/nid/20007561059
- [4] 1911, nur ein gemeinsamer Punkt "Tangénte (lat., »Berührende«), jede gerade, nur in einem Punkt mit einer Kurve zusammenfallende Linie" In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 806. Online: http://www.zeno.org/nid/20001606530
- [5] 2002, Eine Tangente ist "die eine Funktion an einer Differenzierbarkeitsstelle berührende Gerade. Ist die auf der Menge D ⊂ ℝ definierte Funktion f : D → ℝ an der Stelle a ∈ D differenzierbar, so ist die Tangente […] im Punkt (a, f (a)) der Graph der für x ∈ ℝ durch τ=f(a)+f'(a)(x-a) definierten affin-linearen Funktion τf, a : ℝ → R. Die Funktion τf, a hat an der Stelle a den gleichen Funktionswert f (a) und die gleiche Steigung f′ (a) wie f selbst, berührt also f an der Stelle a (Berührung zweier Funktionen). In: "Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 5: Sed bis Zyl; 2002; ISBN: 3-8274-9437-1. Dort der Eintrag zum Stichwort Tangente.
- [6] 2016, spezielle Sekante: "Tangente im Punkt P wird die Sekante PN in ihrer Brenzlage für N -> P genannt" In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 251.
- [7] 2000, zum Berührpunkt: zwei Funktionen f und g berühren sich in einem Punkt an der Stelle (x-Wert) a genau dann, wenn beide Funktionen dort differenzierbar sind, wenn a ein sogenannter innerer Punkt beider Funktionen ist (das heißt nicht am Rand des betrachteten Intervalls liegt) und wenn dann gilt: f(a) = g(a) und f'(a) = g'(a). Das heißt, an dem Punkt haben beide Funktionen denselben Funktionswert und dieselbe Steigung. Dieser Punkt wird in dem Artikel auch Berührungspunkt genannt. Das Lexikon unterscheidet auch eine "Berührung mit Überkreuzung" und eine "Berührung ohne Überkreuzung" und sagt zur Mehrdeutigkeit des Wortes Berührpunkt: "Die Literatur ist hier nicht ganz einheitlich: Manche Autoren sprechen in einem solchen Fall, also wenn sich die Funktionen überkreuzen, nicht mehr von einer Berührung; die hier gegebene Definition scheint aber die verbreitete." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 1. A bis Eif; 2000; ISBN: 3-8274-0303-0. Dort der Artikel "Berührung zweier Funktion". Siehe auch Berührpunkt ↗
