Tangentengleichung aufstellen
Anleitung
Basiswissen
t(x) = mx+b - es wird erklärt, wie man für einen gegebenen Punkt auf einem gegebenen Funktionsgraphen f(x) eine passende Tangentengleichung t(x) bestimmt. Es werden zwei verschiedene (aber ähnliche) Methoden vorgestellt, die immer auch dasselbe Ergebnis liefern. Am Ende stehen auch Aufgaben mit Lösungen.
Lösungsidee als Kurzversion
Die gegebene Funktion f(x) und die gesuchte Tangente t(x) haben einen Punkt. In diesem Punkt haben beide Funktionen immer dieselbe Steigung. Über die erste Ableitung von f(x) kann man diese gemeinsame Steigung m bestimmen. Von der gesuchten Tangentengleichung t(x) = mx + b kennt man damit die Steigung m. Außerdem kennt man einen Punkt der Geradengleichung. Weiter unten auf dieser Seite stehen zwei ausführlich erklärte Rechenmethoden.
Die Fragestellung ausführlich
- Man hat eine Funktionsgleichung gegeben, z. B. f(x)=x².
- Es ist eine Stelle gegeben, also ein x-Wert, z. B. x=1.
- Auf dem Graphen gibt es einen Punkt mit genau diesem x-Wert.
- An diesen Punkt kann man eine Tangente anlegen.
- Eine Tangente ist immer eine Gerade.
- Gesucht ist ihre Gleichung.
- Dazu gibt es zwei Methoden.
Methode I: anschaulich und üblich
y = mx + b als Bauplan der gesuchte Tangentengleichung: dieser Ansatz ist in der Schulmathematik üblich. Der Rechenweg greift auf bekannte Methoden aus vorherigen Klassen zurück (Steigung, y-Achsenabschnitt). Der Nachteil gegenüber der Methode unten ist, dass dieser Rechenweg hier etwas aufwändiger ist und auch einige Möglichkeiten für Rechenfehler bietet. Eine ausführliche Anleitung dazu steht im Artikel Tangentengleichung über Normalform ↗
Methode II: schnell und sicher
y = m(x-X1) + Y1 als Bauplan für die gesuchte Tangentengleichung: dieser Lösungsweg ist in der Schulmathematik eher unüblich. Der große Vorteil besteht darin, dass man sehr wenig rechnen muss. Es gibt wenige Stellen, an denen man Fehler machen kann. Eine ausführliche Anleitung dazu steht im Artikel Tangentengleichung über Punktsteigungsform ↗
Sonderfall: Wendetangente bestimmen
Eine Anwendung ist die Bestimmung einer Gleichung für die sogenannte Wendetangente. Die Wendetangente ist eine Gerade, die durch den Wendepunkt eines Graphen geht und dort dieselbe Steigung hat wie der Graph selbst. Die Wendetangente darf den Graphen dort auch schneiden, wichtig ist lediglich, dass sie dort dieselbe Steigung hat. Lies mehr dazu im Artikel Wendetangenten bestimmen ↗
Sonderfall: Winkel zwischen Graph und x-Achse
Ein weiterer Anwendungsfall für Tangentengleichungen ist die Bestimmung des Winkels, unter dem ein Graph die x-Achse schneidet. Man bestimmt die Tangente an einer Nullstelle des Graphen und berechnet dann mit Hilfe des Arkustangens aus der Trigonometrie den gesuchten Schnittwinkel. Siehe dazu den Artikel Winkel zwischen Graph und x-Achse ↗
Aufgaben zur Übung
Standardaufgaben und Verständnisfragen zu beiden Lösungsverfahren sind hier kurz als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Fragen gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck
