Annahmebereich
Hypothesentest
Definition
Der Annahmebereich sind die erlaubten Trefferanzahlen k, für die man bei der Nullhypothese bleibt: Der Begriff gehört innerhalb der Stochastik zum Thema Hypothesentest. Bei einem Hypothesentest wägt man mit Hilfe von Stichproben zwischen eine Null- und einer Alternativhypothese ab. Der Annahmebereich ist die Anzahl von Treffern innerhalb einer Stichprobe, für die man sich für die Nullhypothese entscheiden würde. Das ist hier kurz vorgestellt.
Wie legt man den Annahmebereich fest?
Es gibt allgemeine Vorgehensweisen die für Anfänger aber recht unübersichtlich sind. Ein vergleichsweise einfacher Sonderfall gilt für Binomialverteilungen. Diese Vereinfachung wird meist in der Schulmathematik verwendet. Nur dieser vereinfachte Sonderfall wird hier vorgestellt.
1 Schritt: gilt Laplace-Bedingung?
Man berechnet die Standardabweichung Sigma über die Formel Sigma = Wurzel aus n·p. Das kleine n ist die Länge der Bernoulli-Kette, und das kleine p ist die Trefferwahrscheinlichkeit. Ist das Ergebnis mindest die Zahl 3, dann gilt die Laplace-Bedingung. Nur wenn die Laplace-Bedingung gilt, kann man die hier vorgestellte Methode zur Berechnung des Annahmebereiches über die sogenannten Sigmaregeln verwenden. Dies ist in dem meisten Fragestellungen der Schulmathematik der Fall. Siehe auch Laplace-Bedingung ↗
2. Schritt: Signifikanzniveau festlegen
1 %, 5 % oder 10 %: das Signivikanzniveau ist oft durch die Aufgabenstellungen vorgegeben. Gibt es keine Vorgabe, kann man es selbst festlegen. In diesem Fall kommt man nicht um eine eigene Wertsetzung herum: je größer das Signifikanzniveau ist, desto eher wechselt man am Ende zur Alternativhypothese, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Wenn man sich unsicher ist, wählt man das Standard-Signifikanzniveau von 5 %. Lies mehr dazu unter Signifikanzniveau ↗
3. Schritt: „Seitigkeit“ des Tests festlegen
Nun muss man überprüfen, ob ein linksseitiger, rechtsseitiger (beide sind einseitig) oder ein zweiseitiger Hypothesentest vorliegt. Das wichtige Kriterium ist der Vergleich der Wahrscheinlichkeiten p für die Alternativ- und die Nullhypothese. Vermutet man, dass das kleine p für die Alternativhypothese kleiner ist als für Nullhypothese, ist der Test linksseitig. Gehe dann direkt weiter zu Schritt 4. Vermutet man, dass das kleine p für die Alternativhypothese größer ist als für Nullhypothese, ist der Test rechtsseitig. Gehe dann direkt weiter zu Schritt 5. Vermutet man, dass das kleine p für die Alternativhypothese lediglich anders ist als für Nullhypothese, egal ob größer oder kleiner, dann ist der Test zweiseitig. Gehe dann direkt weiter zu Schritt 6.
4. Schritt: zweiseitiger Hypothesentest
- Man berechnet den Erwartungswert: µ = n·p.
- Man berechnet die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p))
- Man nimmt das im Schritt 2 bestimmte Signifikanziveau α (kleines alpha)
- Üblicherweise hat das Signifikanzniveau α einen der drei Werte 1 %, 5 % oder 10 %.
- Zu verschiedenen möglichen α-Werten gibt es dann einen hier passenden z-Wert.
- α = 1 % → z = 2,58
- α = 5 % → z = 1,96
- α = 10 % → z = 1,65
- Man rechnet jetzt: µ-z·σ
- Man rundet das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl auf
- Diese ganze Zahl k1 ist dann die linke Grenze des Annahmebereiches
- Man rechnet jetzt: µ+z·σ
- Man rundet das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl ab
- Diese ganze Zahl k2 ist dann die rechte Grenze des Annahmebereiches
- Der Annahmebereich ist also das Intervall [k1|k2] ✔
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis in diesen Bereich fällt, bleibt man bei der Nullhypothese ↗
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis nicht in diesen Bereich fällt, wechselt man zur Alternativhypothese ↗
- Das Signifikanzniveau ist dabei die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ↗
5. Schritt: linksseitiger Hypothesentest
- Man berechnet den Erwartungswert: µ = n·p.
- Man berechnet die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p))
- Man nimmt das im Schritt 2 bestimmte Signifikanziveau α (kleines alpha)
- Üblicherweise hat das Signifikanzniveau α einen der drei Werte 1 %, 5 % oder 10 %.
- Zu verschiedenen möglichen α-Werten gibt es dann einen hier passenden z-Wert.
- α = 1 % → z = 2,33
- α = 5 % → z = 1,64
- α = 10 % → z = 1,28
- Man rechnet jetzt: µ-z·σ
- Man rundet das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl auf.
- Diese ganze Zahl k1 ist dann die linke Grenze des Annahmebereiches
- Die rechte Grenze ist die Länge der Bernoulli-Kette n
- Der Annahmebereich ist also das Intervall [k1|n] ✔
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis in diesen Bereich fällt, bleibt man bei der Nullhypothese ↗
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis nicht in diesen Bereich fällt, wechselt man zur Alternativhypothese ↗
- Das Signifikanzniveau ist dabei die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ↗
6. Schritt: rechtsseitiger Hypothesentest
- Man berechnet den Erwartungswert: µ = n·p.
- Man berechnet die Standardabweichung σ = √(n·p·(1-p))
- Man nimmt das im Schritt 2 bestimmte Signifikanziveau α (kleines alpha)
- Üblicherweise hat das Signifikanzniveau α einen der drei Werte 1 %, 5 % oder 10 %.
- Zu verschiedenen möglichen α-Werten gibt es dann einen hier passenden z-Wert.
- α = 1 % → z = 2,33
- α = 5 % → z = 1,64
- α = 10 % → z = 1,28
- Man rechnet jetzt: µ+z·σ
- Man rundet das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl ab.
- Diese ganze Zahl k2 ist dann die linke Grenze des Annahmebereiches
- Die rechte Grenze ist die Länge der Bernoulli-Kette n
- Der Annahmebereich ist also das Intervall[0|k2] ✔
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis in diesen Bereich fällt, bleibt man bei der Nullhypothese ↗
- Wenn das tatsächliche Versuchsergebnis nicht in diesen Bereich fällt, wechselt man zur Alternativhypothese ↗
- Das Signifikanzniveau ist dabei die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art ↗