0=ax⁴+bx³+cx²+dx+e
0 = x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24: eine ganzrationale Gleichung vierten Grades besteht nur aus Polynomen. Die höchste Potenz von der Unbekannten, meistens als x geschrieben ist die Zahl 4. Hier steht mehr zur Definition. => Ganzen Artikel lesen …
Gleichung
Definition
4x+5 = 41: Alle Terme zwischen denen ein mathematisches Gleichzeichen steht heißen Gleichung. Das Gleichzeichen besagt, dass links und rechts am Ende der gleiche Zahlenwert stehen sollte, aber nicht stehen muss. Das wird hier näher erklärt. => Ganzen Artikel lesen …
Definition und Themenübersicht
0 = ax²+bx+c: jede Gleichung, die man in diese Form umwandeln kann heißt quadratisch. Die pq-Formel kann jede solche Gleichung lösen. Daneben gibt es noch andere Methoden. => Ganzen Artikel lesen …
Beispiele
Quartisch im Zusammenhang mit Gleichungen meint dasselbe wie ganzrational vom Grad vier. Hier stehen einige Beispiele dazu. => Ganzen Artikel lesen …
Hoch fünf
0 = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f: jede Gleichung, die man in diese Form umwandeln kann nennt man quintisch oder auch eine ganzrationale Gleichung vom Grad 5. Das ist hier kurz erklärt. => Ganzen Artikel lesen …
Definition
0 = 2x⁴-128: die reinquartische Gleichung ist eine Sonderform der quartischen Gleichung. Wesentlich ist, dass es nur Summanden mit x⁴ und reinen Zahlen gibt. Das ist hier kurz vorgestellt. => Ganzen Artikel lesen …
… Gegenbeispiele => keine quartische Gleichungen
… Gegenbeispiele => keine quartische Gleichungen
… Gegenbeispiele => keine quartische Gleichungen
… mehrere Methoden unter => Nullstellen von quartischen Funktionen bestimmen
… Gleichung mit x-hoch-vier, siehe => Quartische Gleichungen lösen
… Gegenbeispiele => keine quartische Gleichungen
4 Verfahren
0 = x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 ist eine typische quartische Gleichung. Es gibt kein einfaches Verfahren, das zuverlässig alle Lösungen solcher Gleichungen hervorbringt. Hier werden kurz verschiedene einfache Lösungen für einige Sonderfälle behandelt. => Ganzen Artikel lesen …
… siehe unter => quartische Gleichungen über Satz über rationale Nullstellen
Übersicht
Normalform, allgemeine Form, mit und ohne absolutes Glied: eine quartische Gleichung ist eine ganzrationale Gleichung vierten Grades, also eine hoch-vier-Gleichung. Hier steht eine Übersicht dazu. => Ganzen Artikel lesen …
Lösungsverfahren
0 = 2x⁴-6x³ gibt faktorisiert (ausgeklammert) die Gleichung 0 = 2x³·(x-3). In dieser Form kann man die Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt leicht bestimmen: man betrachtet sich die Teile der Malkette einzeln: 2x³ wird 0, wenn man für x die 0 einsetzt und x-3 wird 0, wenn man für x die Zahl 3 einsetzt. Die Lösungen der Gleichung sind also 0 und ½. Das ist hier ausführlich erklärt. Lies mehr zu diesem Verfahren unter => Gleichungen lösen über Faktorisieren
Lösungsidee
0 = 3x^4-x²+x-46: quartisch nennt man ganzrationale Gleichungen vom Grad vier. Solche Gleichungen haben in Lehrbüchern oft einfache Lösungen wie die Zahlen -1, 1, 2, 3 oder auch 0. Man setzt solche Zahlen in die Gleichungen ein rechnet, ob dann auf beide Seiten dieselbe Zahl herauskommt. Im Beispiel oben findet man so zum Beispiel die Lösung x=2. Lies mehr unter => Satz über rationale Nullstellen
… siehe unter => quartische Gleichungen über Teilermethode
Effizient Probieren
0 = 2x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 162 ist eine typische quartische (hoch-vier) Funktion. Als Besondherheit gilt hier, dass alle Koeffizienten ganze Zahlen sind. Für diese Fälle gibt es ein vereinfachtes Lösungsverfahren. Lies dazu unter => ganzrationale Gleichungen über Teilermethode
