Gradient eines Skalarfeldes
Definition
Ein Skalarfeld ist ein Feld, das jedem Punkt im Raum einen Zahlenwert, ein Skalar, zuordnet. Der Gradient, auch totales Differential oder totale Ableitung genannt, gibt dann für jeden Punkt im Raum die Richtung und Stärke der größten Änderung pro Strecke an. Der Gradient selbst wird daei als Vektor mit Länge und Richtung dargestellt. Diese Idee eines Gradienten verallgemeinert die Idee der Steigung von Funktionsgraphen in einem xy-Koordinatensystem auf Änderungen in einem zwei-, drei oder höherdimensionalen Raum. Ordnet man jedem Punkt eines Skalarfeldes einen Gradienten zu, entsteht ein Vektorfeld. => Ganzen Artikel lesen …
Gradient
Änderung über eine Strecke
Ein Bild ist rechts schwarz und links weiß mit fließenden Übergängen dazwischen: ein Gradient kann dann zum Beispiel die Helligkeitsänderung pro 2 cm Strecke angeben. Ein Gradient ist eine Änderung pro Strecke. Bei Änderungen über eine Zeit hinweg spricht man hingegen von einer Rate. Mathematisch entsprechen sowohl Gradienten wie auch Raten der Steigung eines Graphen. Für Beispiele für Gradienten siehe unter => Gradienten
Rotation eines Vektorfeldes
Physik
Die Rotation eines Vektorfeldes hängt anschaulich eng mit Wirbeln [1], Winkelgeschwindigkeiten [2] und der Rotation von Probekörpern um sich selbst in einem Strömungsfeld [3] von Flüssigkeiten [4] zusammen. Das ist hier mit Rechenbeispielen erklärt. => Ganzen Artikel lesen …
Physik
Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt für jeden Punkt des Feldes an, wie stark in seiner Umgebung die Vektoren auseinander streben. Die Divergenz selbst ist eine reine Zahl, also ein Skalar. Die Divergenz spielt unter anderem bei Strömungsfeldern und bei den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik eine Rolle. => Ganzen Artikel lesen …
Optimierung
Mit dem sogenannten Gradientenverfahren, auch Verfahren des steilsten Abstiegs genannt, lassen sich lokale Tiefpunkte dadurch näherungsweise im Idealfall auch exakt ermitteln, indem man stets der lokalen Steigung folgend immer nur den steilsten Weg bergab wählt. [1] Die Bezeichnung ist unglücklich gewählt, da man dem Gradienten folgend auch einen Aufstieg durchführen könnte. Es hat sich aber weitgehend durchgesetzt, dass das Gradientenverfahren eine Minimierung bezeichnet. [2] => Ganzen Artikel lesen …
Beispiele
Temperaturen, Strömungsgeschwindigkeiten, Windstärken, Salzgehalte: gibt man den Zahlenwert einer physikalischen Größe für jeden Raumpunkt an, so entsteht daraus ein sogenanntes Skalarfeld. Skalar heißt hier Zahl, im Gegensatz zu einem Vektor. Hier stehen einige Beispiele für Skalarfelder. => Ganzen Artikel lesen …
