Basiswissen

Als Zickzack-Funktion bezeichnet man spezielle Funktion, die unter Verwendung trigonometrischer Funktionen einen zackenförmigen Verlauf mit geraden Teilstücken und scharfen Ecken gibt. Hier stehen Beispiele dazu.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Verschiedene Funktion, deren Graph eine Zickzack-Form ergibt. Hier sieht man ein Beispiel, das mit Hilfe des Cosinus erzeugt werden kann.☛

Beispiele

👉 f(x)=arccos(cos(x))

> f(x) = 1 - (2/pi) · arccos(cos(x·pi/2))

> f(x) = x · sgn[sin(x·pi)] - floor[x·sgn(sin(x·pi))]

Legende

arccos = Arcuscosinus

cos = Cosinus

Pi = Kreiszahl, etwa 3,14

sgn = Signum-Funktion

floor = Abrundungsfunktion

sin = Sinus

Das Problem der Hoch- und Tiefpunkte

Zickzack-Funktionen haben offensichtlich klar ausgeprägte Spitzen. An ihren Spitzen sind diese Funktion mathematisch aber nicht ableitbar. Man kann einer Spitze nicht eindeutig eine Steigung zuordnen. Damit kann man für eine Spitze aber auch nicht sagen, dass die erste f'(x) dort den Wert Null habe. Und damit können diese Spitzen auch nicht die schulmathematisch notwendige Bedingung für die Existenz eines Hoch- oder Tiefpunktes erfüllen, dass nämlich dort f'(x) = 0 gilt.

Wenn f'(x)=0 eine notwendige Bedingung für einen Hoch- oder Tiefpunkt ist, können die Spitzen der Zickzack-Funktionen keine solche Extrempunkte sein.

Der Widerspruch bleibt innerhalb der schulmathematischen Definition über die ersten zwei Ableitungen bestehen. Verwendet manaber Definitionen von Hoch- und Tiefpunkten aus der Höheren Mathematik aus Fachbüchern für Hochschulen, kann man auch mathematisch korrekt einer Zickzack-Funktion Hoch- und Tiefpunkte zuordnen. Siehe dazu die Seite über die Definition von einem 👉 Extrempunkt