Basiswissen

Der Satz des Cavalieri, auch Prinzip^[1] von Cavalieri^[2] genannt, besagt: Das Volumen von zwei Körpern ist genau dann gleich groß, wenn die Grund- und Deckflächen der Körper denselben Flächeninhalt haben und zusätzlich die Flächeninhalte von Schnittflächen parallel zur Grundfläche bei beiden Körpern auch immer gleich groß sind.^[3]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — So könnte Cavalieri im 17. Jahrhundert versucht haben, seinen Satz interessierten Jugendlichen seiner Zeit klar zu machen: das Volumen von Türmen ändert sich nicht, nur weil man die Bausteine der Türme gegeneinander verdreht (links) oder verschiebt (rechts). Die einzelnen Bausteine nannte Cavalieri Indivisibilien. Das heißt so viel wie nicht weiter Teilbare Dinge. Im Prinzip dachte sich Cavalierie damit so etwas wie Atome der Geometrie. Das brachte ihm die Kritik vieler Mathematiker seiner Zeit (und danach) ein. © Gunter Heim/Gemini ☛

Formulierungen

DEFINITION:

1 "Wenn zwei Körper gleich große Höhen und in gleicher Höhe gleich Querschnittsflächeninhalte besitzen, so sind ihre Volumina gleich groß."^[8]

DEFINITION:

2: "Liegen zwei Körper zwischen zueinander parallelen Ebenen E₁ sowie E₂ und werden sie von jeder zu diesen parallelen Ebene E′ so geschnitten, dass gleich große Schnittflächen entstehen, so haben die Körper das gleiche Volumen."^[9]

Anschaulich

Zur Veranschaulichung des Satzes des Cavalieri wird zum Beispiel ein Turm aus geometrisch völlig gleichartigen Münzen oder ein Stapel aus geometrisch wiederum gleichartigen quadratischen Bierdeckeln gezeigt. Das Volumen des Münzturm kann man leicht als Volumen eines Zylindes erkennen. Das Volumen des Bierdeckelturmes ist leicht als Volumen eines Quaders zu erkennen. Nun kann man die Münzen im Turm so gegeneinander verschieben, dass der Turm von links nach rechts etwas schief steht, wie der Turm von Pisa. Und die Bierdecke kann man gegeneinander verdrehen, sodass sie nicht mehr kongruent übereinander liegen. In beiden Fällen kann man leicht einsehen, dass sich das Volumen der beiden neuen Türme gegenüber dem Volumen der beiden ursprünglichen Türme nicht geändert hat. Mit Cavalierie denkend kann man also in manchen Fällen schiefe oder verdrehte Körper so in bekannte Grundkörper umformen, dass ihr Volumen mit einer mehr oder minder einfachen Formel berechnet werden kann.

Kritik

Indivisibilia

Cavalieri argumentierte setzte seine Körper gedanklich aus kleinen aber doch theoretisch möglichen Scheibchen zusammen. Cavalieris Scheibchen hatten eine Höhe und damit auch ein echtes Volumen. Er dachte also mit einer Art von atomaren Scheiben, die sich nicht weiter teilen ließ, oder deren Teilung man irgendwo gedanklich anhielt. Er nannte diese Körper Indivisibilien. Davon zeugt etwa der lateinische Titel einer seiner Werke: Geometria indivisibilium continnorum nova quadam ratione promota.

Infinitesimale! Unendlich kleines

Andere Mathematiker seiner Zeit, etwa Newton und Leibniz, verfolgten einen anderen Weg. Sie dachten sich die Längen, Flächen oder Volumen als beliebig weit bis ins unendlich kleine verfeinerbar. Dabei wollten sie keine Grenze dieser Verfeinerung denken. Die beliebig bis unendlich klein gedachten Elemente nannte man später Infinitesimale. Heute formuliert man die Gedanken eher mit dem Begriff des Grenzwertes. Die daraus erwachsene Mathematik, die Infinitesimalrechnung, verlangt von uns jedoch so etwas denken zu müssen wie: unendlich viele unendlich kleine Dinge auffaddiert ergeben am Ende doch eine messbare Länge, Fläche oder ein messbares Volumen. In der Schulmathematik begegnet einem dieses Denken spätestens mit der Idee einer Steigung in einem Punkt, bei der sogenannten h-Methode. Die Rechenweisen dieser Infinitesimalrechnung sind oft gar nicht so schwer zu erlernen. Sie begenen einem in der Schulmathematik spätestens bei der Berechnung einer Steigung in einem Punkt mit der sogenannten h-Methode oder bei der Berechnung der Fläche unter einer Kurve mit der 👉 Säulenmethode

Kontinuum

Die heutige Mathematik und auf ihr aufbauend auch alle Naturwissenschaften, bevorzugen das Denken mit Infinitesimalen. Damit geht man stillschweigend davon aus, dass die Gegenstände der Wirklichkeit und mit ihnen die Längen, Flächen, Räume und sogar die Zeiträume beliebig fein teilbar sind. So stellt man sich zum Beispiel eine Linie als eine lückenlose Aneineinanderreihung von unendlich vielen, Punkten vor. Die Punkte selbst jedoch haben keine Ausdehnung, es sind sogenannte mathematische Punkte. Das mathatische Pendant einem solchen physikalischen Kontinuum sind die reellen Zahlen. Sie werden stillschweigend spätestens nach der Grundschule eingeführt. Als Kuckuckei bringen sie aber ganz beachtliche Zumutungen für das anschauliche Denken mit dem gesunden Menschenverstand mit sich: zwischen zwei beliebigen aber verschiedenen reellen Zahlen gibt es unendlich viele weitere reelle Zahlen. Für eine reelle Zahl kann man keine Nachbarzahl angeben. Man wächst so mit diesem Denken mit reellen Zahlen und ihrer Anwendung auf die Dinge der Wirklichkeit auf, dass man die Zulässigkeit der beliebig feinen Stückelbarkeit der Welt von sich aus meist gar nicht hinterfragt. Ein schönes Paradoxon, dass diese Denkweise auf die Probe stellt ist das antike Problem 👉 Achilles und die Schildkröte

Kritiker von Cavalieri können ihm also vorwerfen, dass er den modernen Trend hin zu einem Universum aus unendlich vielen unendlich klein denkbaren Bausteinen, einem sogenannten Kontinuum, nicht mitgemacht hat. Aber die Geschichte ist damit vielleicht noch nicht zu Ende.

Kritik der Kritik

Pixelwelt

Cavalieries Gedanke von dünnen aber doch ausgedehnten Scheibchen lebt vielleicht fort in sehr modernen Ansätzen, die Welt doch wieder gerastert, gepixelt, aus nicht weiter teilbaren Elementen zu denken. Der Computerpionier Konrad Zuse (1910 bis 1990) schlug vor, sich einen "Rechnenden Raum" vorzustellen. Der Raum selbst ist in nicht weiter teilbare Blöcke geteilt. Diese können nur bestimmte Zustände einnehmen. Die Bewegung einer Kugel wird dann wie die Bewegung eines Punktes auf einem Bildschirm aus Pixeln.^[6] Andere Denker, etwa der Mathematiker Stephen Wolfram (geboren 1959) haben die Idee weiter entwickelt zum Konzept der sogenannten Zellularautomaten. Sie glauben damit, insbesondere auch anders schwer erklärbare Phänomene der Quantenphysik erklären zu können. Ein Wesen der Quantenphysik ist es ja gerade, dass manche Prozesse der Änderung nicht in unendlich kleinen Schrittchen stattfinden, sondern eher klumpenhaft, diskret, sprunghaft. Träfe die Idee des zellenartigen Aufbaus der Welt zu, wäre die Grundidee von Cavalierie rehabilitiert. Aber die Frage gilt als offen. Sie dazu den Artikel 👉 Zellularautomat

Historisch

Der Physiker Ernst Mach (1838 bis 1916) setzte sich intensiv mit der Frage auseinander, wie sehr unsere psychologischen Denkweisen auch auf die Wirklichkeit der Physik passen. Wie gut die Passung ist, ist keineswegs sicher.^[5] Mach würdigt ausdrücklich die denkerische Leistung von Cavalieri. Und auch wenn moderne Mathematike die Idee unteilbar kleiner Raum- oder Flächenteile heute verworfen haben, so scheint diese Idee doch unausrottbar in der Psyche vieler Menschen angelegt zu sein:

ZITAT:

Ernst Mach, 1905: "Die Ausmessung von Räumen, Flächen und Linien durch Körper ist unserer verfeinerten Geometrie ganz fremd geworden; dennoch tritt dieser Gedanke nicht bloß als Vorläufer idealisierter Methoden auf. Derselbe spielt in der Psychologie der Geometrie eine wichtige Rolle, und wir finden ihn noch in einem späten Entwicklungsstadium in der Werkstätte des Forschers und Erfinders auf diesem Gebiete sehr wirksam. Cavalieris Methode der Indivisibilien scheint durch diesen Gedanken am besten verständlich. Nach dessen eigener Erläuterung denke man sich die zu vergleichenden Flächen (Quadraturen) mit beliebig zahlreichen äquidistanten parallelen Fäden nach Art der Kette eines Gewebes, und die zu vergleichenden Räume (Kubaturen) durch parallele Buchblätter ausgefüllt. Die Gesamtlänge der Fäden kann dann als Maß der Flächen, und die Gesamtfläche der Blätter als Maß der Volumina dienen, und zwar kann man in der Genauigkeit so weit gehen, als man will. Die Zahl äquidistanter gleicher Körper kann bei hinreichend dichter Lage und passender Wahl der Form ebensogut die Maßzahlen von Flächen und Räumen liefern, als die Zahl der identischen Körper, welche die Flächen absolut dicht bedecken, oder die Räume absolut dicht ausfüllen. Läßt man diese Körper zu Linien (Geraden), bezw. zu Flächen (Ebenen) schrumpfen, so erhält man die Teilung der Flächen in Flächenelemente und der Räume in Raumelemente, somit die übliche Messung der Flächen durch Flächen und der Räume durch Räume. Die mangelhafte, dem Stande seiner zeitgenössischen Geometrie wenig angemessene Darstellung Cavalieris hat die Historiker der Geometrie zu recht harten Urteilen über dessen schönen und fruchtbaren Erfindungsgedanken bewegen. Wenn noch Helmholtz in seiner bedeutenden Jugendarbeit, in einem Momente des Übergewichts der Phantasie über die Kritik, die Fläche als die Summe der in ihr liegenden Linien (Ordinaten) ansieht, so lehrt dies, wie tief die ursprüngliche natürliche Auffassung sitzt, und wie leicht dieselbe immer wieder entsteht."^[4]

Wer im Rahmen der Schulmathematik die Berechnung des Volumens von krumm und unregelmäßig begrenzten Körpern behandelt neigt vielleicht dazu, die Körper in viele kleinste Volumen- oder Flächenstückchen, um diese dann einzeln zu berechnen. In der Geschichte der Mathematik nennt man diese Atome der Geometrie auch Indivisibilien. [] Mit Cavalieries Methode der Indivisibilien^[2] kommt man immer näher an das tatsächliche Volumen heran. Aber letzten Ende bleibt immer ein Restfehler über, der sich so nicht beseitigen lässt. Erst die Idee des Infinitesimals, das heißt unendlich klein gedachter Stücke und die Auffaddition von unendlich vielen solcher Stückchen führt zum rechnerisch richtigen Ergebnis. Siehe dazu auch 👉 Infinitesimal

Persönliche Einschätzung

Die Aufgabe, sich eine geschlossene Linie aus unendlich vielen kleinen und ausdehnungslosen Punkten als etwas Reales vorzustellen kriege ich nicht gelöst. Natürlich kann ich damit rechnen. Schließlich kann man für zwei beliebige Punkte auf einer mathematischen Geraden, etwa dargestellt mit einer Gleichung wie y=2x+1, immer noch einen weiteren Punkt dazwischen finden. Aber entspricht diesem mathematischen Kontinuum auch eine kontinuierlich aufgebaute Wirklichkeit? An diesem geometrisch-mathematischen Problem entzündet sich aber eine viel weiter greifende Frage: passen die Grundbausteine unseres Denkens überhaupt auf eine real "da draußen" außerhalb unserer Köpfe liegenden Wirklichkeit? Unter anderem die mittelalterliche Philosophie Europas hat diese Frage zugespitzt unter dem Stichwort Adäquatio rei et intellectus.^[5] Hat alles was wir uns denken können (z. B. Farben, Längen, Zeit) auch eine Entsprechung in der Wirklichkeit? Und kann alles was wirklich ist, auch von uns denkerisch erfasst werden? Schon die Mathematik und Physik in der Schule reißen solche Fragen an. Blickt man sich in der aktuellen Philosophie um, so scheinen auch die Experten noch kein abschließendes Urteil gefunden zu haben.

Fußnoten

[1] Der Artikel "Cavalieri, Prinzip des". Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 1. A bis Eif; 2000; ISBN: 3-8274-0303-0. Dort die Seite 301.

[2] "Cavaliēri, Francesco Bonaventura, Jesuit, Mathematiker und Astronom, geb. 1598 in Bologna, gest. daselbst 3. Dez. 1647, studierte in Pisa und wurde 1629 Professor zu Bologna. Bei Untersuchungen über die Bestimmung der von krummen Linien und gekrümmten Flächen eingeschlossenen Räume kam er zu dem Begriff der »unteilbaren Elemente«, indem er den Satz aufstellte, daß z. B. die Linie nicht aus einer unzähligen Menge von Punkten, sondern aus unteilbaren Linienelementen bestehe. Er schrieb: »Geometria indivisibilium continnorum nova quadam ratione promota« (1635,1653), ein Werk, dessen Erscheinen heftigen Streit hervorrief (vgl. F. A. Müller, Das Problem der Kontinuität in Mathematik und Mechanik, Marb. 1886); »Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarithmica« (Bologna 1635); »Exercitationes geometricae« (das. 1647), worin er zuerst die Brennweiten der Glaslinsen bestimmen lehrt." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 3. Leipzig 1905, S. 821. Online: http://www.zeno.org/nid/20006405029

[3] Das "cavalierische Prinzip" besagt, dass "zwei Körper rauminhaltsgleich sind, wenn sie gleich Grundfläche G und Höhe h besitzen und in gleichen Abständen geführte Parallelschnitte gleiche Flächen ergeben." In: Brockhaus in Achtzehn Bänden. F. A. Brockhaus. Leipzig, Mannheim. 2002. ISBN für alle Achtzehn Bände gemeinsam: 3-7653-9320-7. Dort der Artikel "Cavarlieri", Band 2, Seite 416.

[4] Ernst Mach: Erkenntnis und Irrtum. Leipzig 31917, S. 353-389. (Ersterscheinung 1905). Online: http://www.zeno.org/nid/20009213562

[5] Als Adäquatio rei et intellectus bezeichnet man eine Übereinstimmung der Inhalte unseres Denkens (intellectus) mit der äußeren Wirklichkeit (rei). Es ist keineswegs klar, ob selbst so grundlegende Eigenschaften unseres Denken wie Kausalität, Raum, Zeit, Farbe etc. in Wirklichkeit real existieren. Siehe mehr unter 👉 Adäquatio rei et intellectus

[6] Konrad Zuse: Rechnender Raum. Braunschweig: Friedrich Vieweg & Sohn. 1969. 70 Seiten. Siehe auch 👉 Rechnender Raum

[7] Stephen Wolfram: A New Kind of Science. Wolfram Media. 2002. 1197 Seiten. ISBN: 1-57955-008-8. Siehe auch 👉 Zellularautomat

[8] Das große Tafelwerk. Cornelsen Verlag, Berlin. 1. Auflage. 2003. ISBN: 978-3-464-57144-6. Dort auf Seite 28.

[9] Der Artikel "Prinzip von Cavalieri". Wikipedia. Abgerufen am 22. Januar 2026. Online: https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri