Definition

Als reelles Skalarprodukt^[1], auch Standardskalarprodukt^[2] bezeichnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren mit ausschließlich reellen Zahlen als Einträge der Vektoren. Das Ergebnis, der Wert, eines reellen Skalarproduktes ist immer nur eine reelle Zahl. Tatsächlich ist das reelle Skalarprodukt identisch mit dem Skalarprodukt wie es in der Schulmathematik im Zusammenhang mit Vektoren behandelt wird. Das Wort reell nutzt man dann, wenn man das reelle Skalarprodukt vom komplexen Skalarprodukt aus der höheren Mathematik abgrenzen möchte.

Definition

"Ein Skalarprodukt ⟨·,·⟩ auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung V×V ∋ (u, v) → ⟨u,v⟩ ∈ ℝ mit folgenden Eigenschaften:

Positivität: ⟨v,v⟩ > 0 für v ≠ 0

Symmetrie: ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩

Linearität: ⟨su + tv,w⟩ = ⟨hu,w⟩ + ⟨hv,w⟩

Diese Identitäten gelten für alle u,v,w ∈ V und s,t ∈ ℝ"^[1] Diese Definition sagt am Anfang, dass das Ergebnis des reellen Skalarproduktes stets ein reelle Zahl, also ein Zahl aus der Menge ℝ ist. Das so definierte reelle Skalarprodukt ist identisch mit dem Skalarprodukt u·v wie man es aus der Schulmathematik kennt. Siehe dazu mehr unter Skalarprodukt ↗

Abgrenzung

Man spricht von einem reellen Skalarprodukt^[1], auch Standardskalarprodukt^[2] genannt, um es gegen das sogenannte komplexe Skalarprodukt abzugrenzen. Sind u und v zwei Vektoren, dann schreibt man das reelle Skalarprodukt als u·v, das komplexe aber als ⟨u,v⟩ oder ⟨u|v⟩. Während die Rechenregel für das reelle Skalarprdodukt eindeutig aus der Regel für das komplexe Skalarprodukt entsteht, gilt der Umkehrschluss nicht. Wie man das komplexe - und damit auch das reelle - Skalarprodukt allgemein mit nur einer einzigen Regel berechnen kann, ist erklärt im Artikel komplexes Skalarprodukt ↗

Fußnoten

[1] Die allgemeine Definition findet sich in: Universität Stuttgart. Vorlesung Folien Lineare Algebra. Abgerufen am 7. Oktober 2025. Online: URL: https://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/Folien_Skalarprodukt.pdf

[2] Standardskalarprodukt: "Im Falle reeller Vektoren geht dieses [das komplexe] Skalarprodukt in das aus der Schule bekannte Standardskalarprodukt uber [...]" Dabei wird das Standardskalarprodukt vom komplexen Skalarprodukt unterschieden: "Der Vektorraum ℝⁿ mit dem Standardskalarprodukt bildet einen Hilbertraum. Der Vektorraum ℂⁿ mit dem komplexen Skalarprodukt bildet ebenso einen Hilbertraum." Und: "Wir kennen für reelle Vektoren bereits das Standardskalarprodukt für beispielsweise zweidimensionale Vektoren v₁ und v₂ v₁·v₂ = x₁·x₂ + y₁·y₂" Im Original sind die Vektoren v₁ und v₂ mit einem Pfeil über dem Buchstaben v gekennzeichnet. In: Michaela Miedler: Mathematische Bausteine zum Erlernen des Formalismus der Quantentheorie. Diplomarbeit. Universität Wien. Fakultät für Physik. Betreut von Beatrix Hiesmayr. 2019. Dort auf Seite 5. Online: https://utheses.univie.ac.at/detail/50004