Basiswissen

Die Wurzel der Zahl zwei ist irrational: Schritt-für-Schritt: eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich durch einen Bruch darstellen lässt. Schon die alten Griechen vermuteten, dass das bei der Wurzel aus der Zwei nicht klappen könnte. Bewiesen wurde das dann durch den berühmten Mathematiker Euklid.

Grundidee

Eine Zahl ist entweder rational oder sie ist irrational. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.^[1] Die Wurzel von zwei ist also entweder rational oder sie ist irrational. Wenn man zeigen kann, dass sie auf keinen Fall rational ist, dann hat man damit bewiesen, dass sie irrational sein muss. Diese Beweisart nennt man einen indirekten Beweis, einen Widerspruchsbeweis oder auch eine Reductio ad absurdum ↗

Beweisführung

Es wird also angenommen, dass die Quadratwurzel aus 2 ein Bruch ist. Einen Bruch könnte man als p/q schreiben. Es wird ferner angenommen, dass p und q teilerfremde ganze Zahlen sind, der Bruch p/q also in gekürzter Form vorliegt:

Wurzel 2 = p/q

Das bedeutet, dass das Quadrat des Bruchs p/q gleich 2 ist:

(p/q) · (p/q) = 2,

oder umgeformt:

p·p = 2·q·q

Da 2·q·q eine gerade Zahl ist, ist auch p·p gerade. Daraus folgt, dass auch die Zahl p gerade ist.

Die Zahl p lässt sich also darstellen durch:

p = 2r, wobei r eine ganze Zahl ist.

Damit erhält man mit obiger Gleichung:

2·q·q = p·p = (2r)·(2r) = 4·r·r

und hieraus nach Division durch 2

q·q = 2·r·r.

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt, dass q·q und damit auch q eine gerade Zahl ist. Da p und q durch 2 teilbar sind, erhalten wir einen Widerspruch zur Teilerfremdheit.

Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, die Wurzel aus 2 sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit ist die Behauptung, dass die Wurzel aus Zwei irrational ist, bewiesen. Die Wurzel von zwei ist zwar eine reelle, aber keine rationale Zahl sondern eine irrationale Zahl ↗

Fußnoten

[1] Wenn es zu zwei sich gegenseitig ausschließenden Möglichkeiten keine Dritte existiert, spricht man auch vom Prinzip des tertium non datur ↗

[2] Zwei Dinge, die sich gegenseitig ausschließen und zu denen es auch keine dritte Möglichkeit gibt, nennt man logische Kontradiktion ↗

[3] Die direkte Umkehrung einer Aussage nennt man eine Negation ↗