Steigungswinkel und erste Ableitung

Anschaulich

Basiswissen

Definitonsbereich

• Das Folgende gilt nur differenzierbare Punkt von Funktionsgraphen.
  

• Anschaulich sind das nur solche Punkte auf einem Funktionsgraphen, ...
  

• die keine Eckpunkt, keine Lücke oder kein Sprung im Graph sind
  

• Der Steigungswinkel und die Ableitung gehören immer zu einem Punkt.
  

• Wir betrachten einen Punkt P auf dem Graphen von f(x).
  

Tangente

• Man geht auf einen beliebigen differenzierbaren Punkt P des Graphen von f(x).
  

• Für jeden solchen Punkt P gibt es nur genau eine passende Tangente t(x).
  

• Die Tangente t(x) ist die Gerade, die an P dieselbe Steigung hat wie der f(x).
  

• Siehe auch Tangentengleichung ↗
  

Steigungswinkel

• Für die Tangente t(x) zeichnet man ein passendes Steigungsdreieck ↗
  

• Der Winkel links unten im Steigungsdreieck ist der Steigungswinkel ↗
  

Erste Ableitung

• Man bildet von f(x) die erste Ableitung f'(x).
  

• Man setzt den x-Wert von P dort ein und erhält den y-Wert der ersten Ableitung.
  

• Der y-Wert der ersten Ableitung ist identisch mit der Steigung an dieser Stelle P.
  

• Die Steigung an P ist diesselbe für f(x) und t(x).
  

• Man hat also auch die Steigung von t(x).
  

• Siehe auch erste Ableitung ↗
  

Steigungsdreieck

• Links unten im Steigungsdreieck ist der Winkel α.
  

• Das Steigungsdreieck hat eine waagrechte Seite ∆x.
  

• Das Steigungsdreieck hat immer eine senkrechte Seite ∆y.
  

• Die Steigung als Zahl sagt immer: wieviel mal so lang ist ∆y wie ∆x.
  

• Anders gesagt: in welchem Verhältnis steht ∆y zu ∆x, oder kurz: ∆y/∆x
  

• Siehe auch Steigungsdreieck ↗
  

Tangens

• Das Verhältnis ∆y/∆x ist als Zahlenwert also gleich der Steigung.
  

• Das Verhältnis ∆y/∆x ist dasselbe wie die Gegenkathete durch die Ankathete von α.
  

• Dieses Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete ist kurz der Tangens von α.
  

• Damit gilt: Die Steigung ist als Zahlenwert dasselbe wie Tangens α.
  

• Siehe auch Tangenstabelle Grad ↗
  

Arkustangens

• Man kann also zusammenfassen:
  

• Wert der ersten Ableitung = Tangens vom Steigungswinkel α
  

• Um α zu bestimmen wendet man die Umkehrfunktion an ("tangens rückwärts).
  

• Die Umkehrfunktion vom Tangens heißt Arkustangens, auf einem Taschenrechner oft tan⁻¹.
  

• Siehe auch Arkustangens ↗
  

Zahlenbeispiel

• Man hat f(x)=x².
  

• Man betrachtet den Punkt (4|16).
  

• Man bildet die erste Ableitung f'(x)=2x.
  

• Man setzt den x-Wert von P ein: f'(4)=8.
  

• Die Steigung bei P(4|16) ist also 8.
  

• Davon der Arkustangens ist etwa 83°
  

• Der Steigungswinkel α ist etwa 83°
  

• Siehe auch Steigungswinkel ↗