Punkt-Normalenform der Ebene
E: (x-p)·n = 0
Basiswissen
In der anylatischen Geomtrie (Vektorrechnung) kann mit dieser einfachen Gleichung eine Ebene im Raum eindeutig definiert werden. Die Grundidee ist, dass zwei Vektoren, die beiden auf die Eben zeigen einen Differenzvektor parallel zur Ebene bilden. Dessen Skalarprodukt mit dem Normalenvektor ergibt zwangsweise immer 0.
Schreibweise
- E: (x-p)·n = 0
Legende
- E: ist der Name der Ebene. Man liest: die Ebene E ist definiert über ...
- x ist ein variabler Ortsvektor auf einen beliebigen Punkt der Ebene
- Der Vektor x wird oft mit den Komponenten x, y und z geschrieben.
- p ist ein fester Orstvektor, oft mit Zahlen geschrieben.
- Der Malpunkt · meint das Skalarprodukt ↗
- n ist irgendein Normalenvektor ↗
Veranschaulichung
- Man stellt sich die Vektordifferenz x-p anschaulich vor.
- Man interpretiert die Differenz dabei über das Ergänzen.
- Mehr dazu steht unter "Ergänzen" unter Vektordifferenz ↗
- Die Differenz x-p ist zwangsweise parallel zur Ebene
- Damit ist die Differenz zwangsweise orthogonal zum Normalenvektor.
- Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist immer 0.
- Also gibt Differenzvektor mal Normalenvektor automatisch 0.
- Alle Vektoren x, mit der diese Rechnung aufgeht, sind ...
- automatische Ortsvektoren von Punkten auf der Ebene E.