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Mondabstand (Aristarchos)


Messung


Basiswissen


Um das Jahr 270 vor Christus bestimmte der antike griechische Astronom den Abstand des Mondes. Er kam mit rund 420 tausend Kilometern sehr nahe an die heute übliche Angabe von rund 384 tausend Kilometern. Dabei musste Aristarchus lediglich eine Sonnenfinsternis beobachten, deren Zeitdauer messen (etwa 3 Stunden) und einfache Schulgeometrie anwenden. Das ist hier kurz mit einer Anleitung für eine Gedankenskizze erklärt.

Aristarchos Annahme über den Erdschatten


Aristarchos ging davon aus, dass die Erdkugel einen etwa zylinderförmigen Schatten wirft, wenn sie von der Sonne angestrahlt wird. Das trifft umso besser zu, je weiter die Sonne von tatsächlich uns entfernt ist. Die Annahme ist so zutreffend, dass Aristarchos damit sehr gute Ergebnisse erzielen konnte. Will man das skizzieren, kann man so vorgehen. Auf einem großen Blatt Papier zeichnet meinen die Erde als kleinen Kreis, zum Beispiel mit einem Durchmesser von 4 Zentimetern. Man stellt sich jetzt vor, die Sonne läge rechts von Erde. Von rechts nach links zieht man dann gelb gezeichnete, parallele, horizontale (waagrechte) Linien über das Blatt. Das sind die Sonnenstrahlen. Man nimmt (korrekterweise) an, dass sie nicht durch den Erdkreis gehen. Links von der Erde entsteht dann ein langgezogener Bereich, in den keine Sonnenstrahlen fallen. Dieser Bereich ist von oben nach unten genauso breit wie die Erde als Durchmesser groß ist. Die Breite des Schattens ist damit auch das Doppelte des Erdradius r.

Aristarchos Annahme über die Mondbahn


Aristarchos nahm an, dass sich a) der Mond auf einer perfekten Kreisbahn um die Erde als Mittelpunkt bewegt (passt in etwa), dass er b) dabei immer dieselbe Bahngeschwindigkeit hat, also immer gleich schnell ist (passt in etwa), und dass er c) sich in derselben Ebene bewegt, in der auch die Erde um die Sonne wandert [gilt bis auf etwa 5°]. Um das nachzustellen, zeichne jetzt einen großen Kreis, zum Beispiel 8 Zentimeter Radius sind gut, mit der Mitte der Erde als Kreismittelpunkt. Diesen Radius der Mondbahn kürzen wir ab mit R. Der so gezeichnete Kreis steht für die Mondbahn ↗

Aristarchos Annahme über die Mondfinsternis


Aus den obigen Annahmen folgt, dass der Mond, wenn er kleiner ist als die Erde, ganz in den Erdschatten eintauchen kann und dann von der Sonne nicht mehr beleuchtet wird. Dabei zählt man die Zeit von der ersten sichtbaren Verdunkelung eines Teiles des Mondes bis zur letzten sichtbaren Verdunkelung. Eine solche Mondfinsternis kann zum Beispiel 3 Stunden und 12 Minuten dauern.

Die Bestimmung des Mondabstandes im Verhältnis zum Erdradius


Man kann jetzt die Zeit, die der Mond für einen ganzen Umlauf um die Erde braucht T nennen. Die Daue des Sonnenfinsternis nennt man zum Beispiel t. Die Strecke für einen ganzen Umlauf ist gleich dem Kreisumfang. Wenn der Radius der Bahn des Mondes um die Erde R ist, dann ist die Länge dieser Kreisbahn gleich dem Kreisumfang und kann berechnet werden über U = 2·π·R. Die Wegstrecke, die der Mond durch den Erdschatten zurücklegen muss ist aber genau so lang wie der Erddurchmesser groß ist, also 2·r, mit r als Radius der Erde. Nun kann man für die Geschwindigkeit des Mondes um die Erde und für die Geschwindigkeit des Mondes durch den Erdschatten je einen Term für die Mondgeschwindigkeit aufstellen. Da Geschwindigkeit immer Strecke geteilt durch die dafür nötige Zeit ist, erhält man für die ganze Erdbahn eine Bahngeschwindigkeit von 2·π·R/T und für die Strecke durch den Erdschatten 2·r/t. Da Aristarchos (ziemlich gut zutreffend) beide Geschwindigkeiten als gleich annahm, konnte er die zwei Terme gleichsetzen und dann die Gleichung nach dem dem Verhältnis des Mondabstandes R zum Erdradius r umstellen. Man erhält dann: R/r = T/(t·π). Dabei hat sich die Zahl 2 weggekürzt. Groß T ist die Dauer von einem Monat, also 655,2 Stunden. Das kleine t war die Dauer einer Mondfinsternis, im Beispiel 3 Stunden und 12 Minuten, oder umgerechnet in eine Dezimalzahl 3,2 Stunden. Pi ist die Kreiszahl, man kann es mit 3,14 annahmen. Rechnet man das aus, kommt man auf die Zahl 65,2. So kam Aristarchos zu der Idee, dass der Mittelpunkt des Mondes etwa 65 mal so weit von der Erde entfernt ist, wie der Erdradius groß ist.

Die Bestimmung des Mondabstandes als absolute Strecke


Kurze Zeit nach Aristarchos (310 bis 230 v. Chr.) wirkte Eratosthenes (276 bis 194 v. Chr). Als dieser den Erdumfang zu etwa 40 tausend Kilometern bestimmt hatte, konnten die antiken Griechen mit Hilfe des Verhältnisses von Aristarchos auch den absoluten Abstand des Mondes zur Erde bestimmen. Nimmt man den heutigen Wert des Erdradius an, das sind 6371 Kilometer, dann kommt man nach Aristarchos auf einen Abstand des Mondes von rund 415 tausend Kilometern. Das ist erstaunlich nahe an den heute üblichen Angaben von rund 384 tausend Kilometern. Siehe auch Mondabstand ↗

Fehlerquelle 1: die Form des Erdschattens


Aristarchos hatte angenommen, dass die Strahlen von der Sonne alle parallel auf der Erde eintreffen und der Erdschatten damit ein Zylinderform hat. Tatsächlich ist die Sonne aber sehr viel größer als die Erde und ihre Strahlen treffen nicht genau parallel zueinander auf der Erde auf. Der wahre Erdschatten hat eher die Form eines Kegels, wird also von der Erde weg immer schmaler wie der Schatten einer kleinen Kugel vor einer großen leuchtenden Kugel. Diesen Fehler hatte Aristarchos gemacht, die Wirkung war aber sehr gering.

Fehlerquelle 2: die Neigung der Mondbahn


Aristarchos hatte auch angenommen, dass der Mond immer in derselben Ebene liegt, auf der die Erde um die Sonne wandert. Tatsächlich steht der Mond aber manchmal unterhalb und manchmal etwas oberhalb dieser Ebene. Er durchwandet damit auch nicht immer zuverläsig die volle Breite des Erdschattens, sondern teilweise nur kleine Teile davon. Aber auch dieser Fehler wirkte sich nur sehr gering auf das Ergebnis aus. Siehe mehr zu diesem Hintergrund unter Bahnneigung ↗

Wie konnte man mit dem Mondabstand den Sonnenabstand abschätzen?


Kannte man einmal den Abstand des Mondes zur Erde, konnte man mit einer ähnlich einfachen geometrischen Überlegung auch abschätzen, wie weit die Sonne von der Erde entfernt ist. Dazu beobachtete man den Halbmond. Die Mathematik dazu ist sehr einfach, nicht aber die Messung eines der nötigen Winkel. Zum entsprechenden Gedanken des Eratosthenes siehe den Artikel über die Größe und Abstände von Sonne und Mond ↗

Fußnoten