Kehrwert einer komplexen Zahl
Definition, Berechnung, Beispiel, Bedeutung
Basiswissen
Die komplexe Zahl 2+2i hat den Kehrwert 0,25-0,25i. Der Rechenweg wird hier kurz erklärt.
Definition
- Wenn die komplexe Zahl z heißt,
- dann ist der Kehrwert KW = 1/z.
- Wenn also z=a+bi, dann ist
- KW = 1/(a+bi)
Was ist die Lösungsidee?
- Man nimmt die komplexe Zahl z.
- Man schreibt sie als: 1/z
- Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
- Man vereinfacht den so entstandenen Term.
- Das Ergebnis ist der Kehrwert von z.
Wie sieht ein Zahlenbeispiel aus?
- Gegebeben: z = 2+2i
- Man schreibt: = 1/z
- Ausgeschrieben ist das: 1/(2+2i)
- Man erweitert mit dem konjugiert Komplexen von z.
- Siehe dazu auch konjugiert komplexe Zahl ↗
- Konjugiert komplexes von z = 2-2i
- Erweitern heißt: Zähler und Nenner damit malnehmen:
- KW = (2-2i)/[(2+2i)(2-2i)]
- Die untere Klammer vereinfachen nach Klammer mal Klammer ↗
- Dabei beachten, das i·i per Definition -1 ergibt.
- Das kleine i ist die sogenanne imaginäre Zahl ↗
- Der Zähler gibt damit immer eine reine reelle Zahl.
- Vereinfachen gibt damit:
- KW = 0,25-0,25i
Tipp
- Der Zähler von 1/z ist immer das konjugiert Komplexe von z.
- Der Nenner von 1/z ist immer (a²+b²), also das Quadrat des Betrages von z.