Drittes Keplersches Gesetz

Rechenbeispiel

Basiswissen

T²/A³ ist konstant für alle Planeten: das ist eine Form des dritten Keplerschen Gesetzes. Eine andere Form ist: (T₁/T₂)² = (A₁/A₂)³. Das wird hier anhand realer Daten der Planeten erklärt.

Was ist die Umlaufzeit T?

Jeder Planet wandert auf einer eigenen Ellipsenbahn um die Sonne. Eine Ellipse ist hier eine Art langgezogener oder leicht zusammengedrückter Kreis. T ist die Zeit, die ein Planet benötigt, um einmal ganz die Ellipse zu durchwandern, man spricht von einer Umlaufzeit. Gemeint ist dabei die sogenannte sidersiche Umlaufzeit. Das ist die Zeit, die der Planet tatsächlich vor die gesamte Länge der Ellipse benötigt.

Was ist die große Halbachse A?

Eine Ellipse, sofern sie kein Kreis ist, hat verschiedene Durchmesser. Darunter gibt es einen kürzesten und einen längsten Durchmesser, man spricht hier von Achsen. Die Hälften dieser Achsen nennt man eine Halbachse. Sie kann in Kilometern angegeben werden. In der Astronomie üblich sind auch astronomische Einheiten AE: eine AE sind rund 150 Millionen km oder etwa der Abstand der Erde von der Sonne.

Die Daten der 8 Planeten

Merkur | 0,241 Jahre | 0,3871 AE

Venus | 0,616 Jahre | 0,723 AE

Erde | 1,000 Jahre | 1 AE

Mars | 1,882 Jahre 1,524 AE

Jupiter 11,863 Jahre | 5,204 AE

Saturn | 29,457 Jahre | 9,582 AE

Uranus | 84,011 Jahre | 19,201 AE

Neptun | 164,79 Jahre | 30,047 AE

Quelle Sonnenumlaufbahnen ↗

T² durch A³ für alle Planeten

Merkur: 0,241²:0,3871³ ≈ 1,0 ✔

Venus: 0,616²:0,723³ ≈ 1,0 ✔

Erde: 1,000²:1³ = 1,0 ✔

Mars: 1,882²:1,524³ ≈ 1,0 ✔

Jupiter: 11,863²:5,204³ ≈ 1,0 ✔

Saturn: 29,457²:9,582³ ≈ 1,0 ✔

Uranus: 84,011²:19,201³ ≈ 1,0 ✔

Neptun: 164,79²:30,047³ ≈ 1,0 ✔

Ergibt der Quotient immer 1,0?

Nein, er ergibt aber für alle Planeten gerundet immer mehr oder minder einen gleichen Wert. Dass im Beispiel oben der Quotient immer 1,0 ergab hängt mit den gewählten Einheiten zusammen: Jahre und Astronomische Einheiten AE. Wählt man zum Beispiel Tage und Kilometer, kämen ganz andere Werte heraus. Das ändert aber nichts an der Gültigkeit des dritten keplerschen Gesetzes.