Bernoulli-Kette erkennen
7 Aufgaben aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Welche der folgenden Experiment können als Bernoulli-Kette gedeutet werden?
a) Würfel I
Ein Würfel wird fünfmal geworfen und die Anzahl der Sechsen notiert.
b) Würfel II
Ein Würfel wird viermal geworfen und die Augensumme notiert.
c) Urne I
Aus einer Urne mit 4 weißen und 9 roten Kugeln wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis die erste rote Kugel erscheint.
d) Urne II
Aus einer Urne mit 3 weißen und 7 roten Kugeln wird 4- mal mit Zurücklegen jeweils eine Kugel gezogen.
e) Glücksrad I
Bei einem Glücksrad erscheint in 50 Prozent aller Fälle eine 1, in jeweils 25 Prozent der Fälle eine 2 bzw. eine 3. Das Rad wird viermal gedreht und die Ziffern als 4-stellige Zahl notiert.
f) Glücksrad II
Das Glücksrad aus Aufgabe e wird achtmal gedreht. Jedes Mal, wenn die 3 erscheint, erhält man einen Gewinn von 20 Eurocent.
g) Glücksrad III
Das Glücksrad aus Aufgabe e wird so oft gedreht, bis die 4 erscheint, höchstens jedoch siebenmal.
Lösungen
a) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Länge n = 3. Ein Treffer ist das Ereignis 6. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist in jeder Stufe gleich p = 1/6.
b) Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette, denn in jeder Stufe kann es 6 verschiedene Ergebnisse geben: { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }. Bei einer Bernoulli-Kette müssen es aber genau zwei Ergebnisse pro Stufe sein.
c) Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette, da die Kugeln nicht zurückgelegt werden und sich dadurch die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe ändert. Für eine Bernoulli-Kette muss die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in jeder Stufe gleich sein.
d) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 4. Die Wahrscheinlichkeit für Treffer weiß ist durch das Zurücklegen konstant p = 3/10, für Treffer rot p = 7/10.
e) Es handelt sich um keine Bernoulli-Kette, da es in jeder Stufe drei Ergebnisse geben kann { 1 ; 2 ; 3 }. Für eine Bernoulli-Kette darf es nur zwei Ergebnisse pro Stufe geben.
f) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 8. Als Treffer gilt die Zahl 3 mit p = 0,25. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bleibt in jeder Stufe gleich.
g) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, wobei die Länge nicht festgelegt ist. Treffer ist die Zahl 4 mit der Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25. Die größtmögliche Kettenlänge ist 7.