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Über die Größen und Abstände


Astronomie


Basiswissen


„Über die Größen und Abstände“ ist ein astronomisches Werk des antiken Denkers Aristarchos von Samos (310 bis 230 v. Chr.). Dort zeigt Aristarchos, wie man mit einfachsten Mitteln der Geometrie bestimmen kann, wie viel mal so weit die Sonne von der Erde entfernt ist wie der Mond. Das ist hier vorgestellt.

Wie Aristarchos bei seiner Bestimmung vorging


Von Aristarchos überliefert sind Bruchstücke seines Werkes "Über die Größen und Abstände von Sonne und Mond" [1]. Darin hat er eine leicht nachvollziehbare Methode beschrieben, wie man den Abstand der Sonne zur Erde abschätzen kann. Die Grundidee ist die Geometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Hier sind die Denkschritte von Aristarchos nachgestellt.

1) Halbmond-Logik: Aristarchos ging davon aus, dass bei Halbmond die Verbindlungslinie Erde-Mond und Mond-Sonne einen rechten Winkel bilden. So kann man erklären, dass man von der Erde aus nur die Hälfte der Mondkugel beleuchet sieht. Damit bilden die drei Himmelskörper Erde, Mond und Sonne zusammen als Ecken auch ein rechtwinkliges Dreieck. Siehe auch => Halbmond

2) Winkelsatz nutzen: da man den Halbmond auch tagsüber sehen kann, kann man auch die Sonne und den Halbmond gleichzeitig beobachten. Man kann dann den Winkel bestimmen, der von von der Linie vom Mond zum eigenen Auge und von der Linie von der Sonne zum eigenen Auge gebildet wird. Dieser Winkel ist dann auch der Winkel zwischen Mond-Erde und Sonne-Erde. Damit hat man einen zweiten Winkel in dem Dreieck bestimmt. Da aber alle Winkel in einem Dreieck zusammen immer 180° ergeben, kennt man auch den dritten Winkel im Dreieck. Der dritte und sehr kleine Winkel ist der zwischen den Linien Sonne-Mond und Sonne-Erde. Siehe dazu auch => Innenwinkelsumme für Dreiecke

3) Winkel messen: Was Aristarchos jetzt messen musste war der Winkel, unter dem der Halbmond und die Erde gleichzeitig gemeinsam am Taghimmel zu sehen sind. Das ist sehr schwer. Man kann mit dem bloßen Auge nicht direkt in die Sonne blicken. Zudem muss man genau die Mitten der zwei Himmelskörper anpeilen. Das ist ohne präzise Instrumente kaum möglich. Wie Aristarchos den Winkel bestimmte, konnte ich nirgends beschrieben finden. Kennt hier jemand eine Antwort? Überliefert ist aber, dass Aristarchos den gesuchten Winkel mit mindestens 87° angab. Damit kann man nach Schritt 2 den Winkel zwischen den Linien Sonne-Mond und Sonne-Erde zu mindestens 3° bestimmen.

4) Dreieck zeichnen: zur Zeit von Aristarchos kannte man in Europa noch keine Dezimalzahlen. Auch gab es damals noch keine Tabellen mit Sinus-, Cosinus- und Tangenswerten für Dreiecke. Solche Tabellen und Dezimalzahlen hätten eine rechnerische Lösung sehr einfach gemacht, aber zur Zeit von Aristarchos gab es beides noch nicht in der heute üblichen Form. Die Mathematik seiner Zeit war vor allem Geometrie. Viele Probleme löste man zeichnerisch. Man kann also jetzt ein Dreieck mit den Winkel 90°, 87° und 3° zeichnen. Dieses Dreieck wird sehr spitz, lang und dünn. Man benötigt dafür eine recht große Zeichenflächen. Siehe auch => nach WWW konstruieren [Anleitung]

5) Ergebnis deuten: je nachdem wie genau man das Dreieck mit den Winkel 90°, 87° und 3° gezeichnet hat, wird dabei herauskommen, dass die Strecke von der Sonne zur Erde in etwa 19 mal so lang ist wie die Strecke von der Erde zum Mond. Genau das ist auch das Ergebnis, das Aristarchos bestimmt hatte.

Literatur


◦ [1] Aristarchos von Samos: Über die Größen und Abstände von Sonne und Mond.
◦ [2] E. Silbernagel: Die Erste Bestimmung Der Größen- Und Entfernungsverhältnisse Des Mondes Und Der Sonne Gegenüber Der Erde. Die Astronomie von ihren Anfängen bis auf den heutigen Tag. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1925, pp. 10-11. https://doi.org/10.1515/9783486751482-006
◦ [3] Joh. Christoph Sturm: Des Unvergleichlichen Archimedis Sand-Rechnung, Oder Tiefsinnige Erfindung einer, mit verwunderlicher Leichtigkeit aussprechlichen, Zahl, 1667, Facsimile-Ausgabe online unter Sächsische Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden.