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Progressive Kostenfunktion Diamanten


Zahlenbeispiel


Basiswissen


Je mehr man produziert, desto teurer wird jedes einzelne produzierte Stück: wenn die Kosten pro produziertem Stück ansteigen, je mehr Stücke man produziert, dann spricht man von einer progressiven Kostenfunktion. Dazu steht hier ein plausibles Zahlenbeispiel.

Realer Hintergrund


An der Südwest-Küste Afrikas liegen die Länder Südafrika und Namibia. Dort kann man am Sandstrand Diamanten finden. Seit langer Zeit schon wird der Sand durchgesiebt und nach Diamanten durchsucht. Sogar auf dem Meeresboden liegen sowohl im flachen als auch im tiefen Wasser Diamanten. Um sie zu fördern fahren Leute mit kleinen Motorbooten auf das Meer. Tauchen führen dann große Saugrüssel über den Meeresboden. So werden Sand und Schlick auf das Boot gefördert und dort nach Diamanten durchsucht.

Gedankenexperiment


Stelle dir nun vor, du kaufst dir das Recht in einem bestimmten Küstenbereich im Trockenen nach Diamanten zu suchen. Du stellst einen Arbeiter ein, der für dich im Sand sucht. Du zahlst im 50 Euro Lohn am Tag. Am Anfang wird er recht häufig Diamanten finden. Für wenig Lohn, kriegst du viele Diamanten. Mit der Zeit werden die leicht zu findenden Diamanten aber langsam seltener. Der Arbeiter muss jetzt immer länger suchen. Es ist klar, dass du jetzt für jeden weiteren Diamanten im Durchschnitt immer mehr Lohn bezahlen musst. Hier sind (ausgedachte) Beispieldaten, die zeigen, wie es aussehen könnte:


Gesamtkosten als Tabelle



Legende



Diamentenkosten als Gesamtkostenfunktion


Die Datenpunkte oben gäben einen immer steiler ansteigenden Graphen. Das ist das Typische für eine progressive Kostenfunktion. Eine passende Funktionsgleichung wäre:


Das x steht hier für alle insgesamt gefundenen Diamanten, das y für die Gesamtkosten, um diese Diamanten zu finden. Als Graph wäre das eine steil nach rechts ansteigende Parabel. Genau das ist typisch für progressive Kostenfunktionen: Die Gesamtkosten für die Stückzahl x steigen immer schneller an. Siehe mehr zur Theorie unter progressive Kostenfunktion ↗

Diamanantenkosten als Grenzkostenfunktion


Als Grenzkosten bezeichnet man in der Betriebwirtschaft die Kosten, die bei einer produzierten Menge von x für das nächste produzierte Stück hinzukämen. Für differenzierbare Gesamtkostenfunktion bildet man einfach die erste Ableitung f'(x). Das ist dann die. Im Beispiel hier leitet man also f(x) = 25x²+25x einmal ab und erhält f'(x)=50x+25. Das ist die Grenzkostenfunktion ↗

Wie wirkt sich das auf die Stückkosten aus?


Die Gesamtkostenfunktion dividiert durch die Stückzahl ergibt die Stückkostenfunktion Diese gibt den durchschnittlichen Preis pro produziertes Stück. Im Beispiel dividiert man die Gesamtkostenfunktion f(x) = 25x²+25x also durch x und erhält die Stückostenfunktion k(x), im Beispiel also k(x) = 25x+25. Bei den Diamanten im Beispiel würden die durchschnittlichen Kosten pro Stück also mit dem Fortschreiten des Abbaus ständig anwachsen. Siehe auch Stückkostenfunktion ↗