Kubische Gleichungen über Satz Teilermethode
Anleitung
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Basiswissen｜
Rechenbeispiel｜
1. Leitkoeffizient betrachten｜
2. Absolutglied betrachten｜
3. Mögliche Lösungen aufschreiben｜
4. Alles ausprobieren
Basiswissen
Ein effizientes Probierverfahren: man hat eine kubische Gleichung (hoch drei) mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten. Es gibt nur wenige mögliche Lösungen, die man leicht bestimmen und der Reihe nach ausprobieren kann. Das ist ein oft sehr schnelles Lösungsverfahren. Es ist hier kurz mit einem Beispiel vorgestellt:
Rechenbeispiel
- f(x) = 1x³ - 6x² + 11x - 6
1. Leitkoeffizient betrachten
- Der Leitkoeffizient ist die Zahl vor dem x³, hier also: die Zahl 1
- Man bildet alle ganzzahligen Teiler des Leitkoeffizienten und ihre Gegenzahlen.
- Für den Leitkoeffizienten 1 ist das: 1 und -1
2. Absolutglied betrachten
- Das Absolutglied ist die Zahl ohne x, hier also: die Zahl -6
- Man bildet alle ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes und ihre Gegenzahlen.
- Für das Absolutglied -6 ist das: 1, 2, 3, 6 und -1, -2, -3 und -6
3. Mögliche Lösungen aufschreiben
- Eine mögliche Lösung wird zunächst immer als Bruch gedacht.
- Möglich ist jeder Bruch bei dem a) der Zähler aus der Liste für das Absolutglied kommt ...
- und bei dem b) der Nenner (unten) aus der Liste des Leitkoeffizienten kommt:
- Mögliche Lösungen: 1/1 1/(-1) 2/1 2/(-1) 3/1 3/(-1) 6/1 6/(-1)
- Vereinfachen: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
4. Alles ausprobieren
- Ausprobieren heißt: man setzt alle möglichen Lösungen für x in die Gleichung auf.
- Kommt für eine eingesetzte Zahl links und rechts ausgerechnet dasselbe heraus, hat man eine Lösung.
- Im Beispiel oben ergeben sich drei Lösungen, die tatsächlich stimmen: 1, 2 und die 3 ✔
- Andere Lösungen gibt es hier nicht und kann es auch nicht geben.