Basiswissen

Kartesische Form

• Komplexe Zahl z ist gegeben über (a+bi).
  

• Dann ist die Wurzel von z dasselbe wie Wurzel von (a+bi).
  

• Die kartesische Form erst umwandeln in die Exponentialform ...
  

• dann damit weiterrechnen:
  

Exponentialform

• Eine Komplexe Zahl z ist gegeben über r·e^(i·phi)
  

• Dann ist eine Quadratwurzel von z = Wurzel(r)·e^(i·0,5·phi)
  

• Siehe auch komplexe Zahl in Exponentialform ↗
  

Polarform

• Komplexe Zahl z ist gegeben über r mal [ cos (phi) + i·sin(phi) ]
  

• Erst umwandeln in Exponentialform, dann weiter wie oben.
  

Anschaulich

• Man stelle sich die komplexe Zahl z als Punkt im Koordinatensystem vor.
  

• Eine Wurzel ist dann jede Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder z gibt.
  

• Dazu muss das r der Wurzel mit sich selbst malgenommen das r von z geben.
  

• Und der Winkel phi der Wurzel muss zu sich selbst addiert phi von z geben.
  

• Siehe auch komplexe Zahl in Polarform ↗
  

Besonderheiten

• Für die reellen Zahlen ist die Wurzel nur definiert als positive Zahl.
  

• Die reelle Wurzel von 16 wäre demnach nur die Zahl 4 und nicht auch -4.
  

• Diese Einschränkung fällt bei komplexen Zahlen weg.
  

• Komplexe Wurzel dürfen auch negativ sein.
  

• Eine komplexe Zahl hat zwei Quadratwurzeln.
  

• Eine komplexe Zahl hat drei dritte Wurzeln.
  

• Eine komplexe Zahl hat vier vierte Wurzeln.
  

• Siehe auch Moivrescher Satz ↗