Erwartungswert einer Bernoulli-Kette
Definition
Basiswissen
μ = n·p - das kleine griechische my (μ) ist hier der Erwartungswert: die Berechnung für eine Bernoulli-Kette ist sehr einfach. Hier wird zunächst die Bedeutung des Erwartungswertes ausführlich erklärt, am Ende dann die Berechnung.
Was meint "Erwartungswert"?
- Es gibt Versuche, bei denen die Ausgänge Zahlenwerte haben.
- Beim Würfeln hat man zum Beispiel die Zahlen 1 bis 6.
- Nur für solche Versuche gibt es einen Erwartungswert.
- Wiederholt man so einen Versuch theoretisch unendlich oft, ...
- dann kann man den Durchschnitt aller Zahlenwerte bilden, die gekommen sind.
- Dieser theoretische Durchschnitt ist der Erwartungswert μ.
- Das Formelzeichen ist das kleine griechische my: μ
- Mehr unter Erwartungswert ↗
Was meint Bernoulli-Kette?
- Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment, bei dem man nur zwei Ausgänge unterscheidet.
- Beispiel: beim Würfeln könnte man unterscheiden: kam eine 6 ja oder nein?
- Man nennt den einen Ausgang normalerweise Treffer, den anderen nicht-Treffer.
- Bei einer Bernoulli-Kette führt man solche Bernoulli-Experimente mehrmal hintereinander aus.
- Der Ausgang einer ganzen Bernoulli-Kette ist dann die Anzahl k von Treffern.
- Beispiel: wenn man mit 10 Würfeln hintereinander würfelt hat man eine Kette der Länge 10.
- Wie groß ist für so eine Kette die Wahrscheinlichkeit genau 8 Treffer (6er) zu bekommen?
- Mehr unter Bernoulli-Kette ↗
Was ist der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette?
- Das ist die durchschnittliche Anzahl von Treffern,
- die man bekäme, wenn die Bernoulli-Kette n Versuche lang ist ...
- und man die den ganzen Kettenversuch unendlich oft wiederholen würde.
Was wäre ein konkretes Beispiel?
- Das einzelne Bernoulli-Experiment wäre Würfeln.
- Man unterscheidet die Zahl (Treffer) und alle anderen Zahlen (nicht-Treffer).
- Die Wahrscheinlichkeit p für eine 1 bei einmaligen Würfeln ist 1/6.
- Jetzt denkt man sich als Ketten-Experiment: 12 mal würfeln.
- Die Bernoulli-Kette hat die Länge n=12 (12 Einzelexperimente).
- Die Frage ist: wie viele Einer kommen in dieser Kette im Schnitt heraus?
- Die Antwort darauf ist der Erwartungswert, es wäre hier: 2.
- Wenn man mit 10 Würfeln würfelt, kommen im Schnitt 2 Einser.
Wie berechnet man den Erwartungswert?
- μ = n·p
- n = Länge der Bernoulli-Kette
- p = die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer im Bernoulli-Einzelexperiment.