Basiswissen

Was meint "Erwartungswert"?

• Es gibt Versuche, bei denen die Ausgänge Zahlenwerte haben.
  

• Beim Würfeln hat man zum Beispiel die Zahlen 1 bis 6.
  

• Nur für solche Versuche gibt es einen Erwartungswert.
  

• Wiederholt man so einen Versuch theoretisch unendlich oft, ...
  

• dann kann man den Durchschnitt aller Zahlenwerte bilden, die gekommen sind.
  

• Dieser theoretische Durchschnitt ist der Erwartungswert μ.
  

• Das Formelzeichen ist das kleine griechische my: μ
  

• Mehr unter Erwartungswert ↗
  

Was meint Bernoulli-Kette?

• Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment, bei dem man nur zwei Ausgänge unterscheidet.
  

• Beispiel: beim Würfeln könnte man unterscheiden: kam eine 6 ja oder nein?
  

• Man nennt den einen Ausgang normalerweise Treffer, den anderen nicht-Treffer.
  

• Bei einer Bernoulli-Kette führt man solche Bernoulli-Experimente mehrmal hintereinander aus.
  

• Der Ausgang einer ganzen Bernoulli-Kette ist dann die Anzahl k von Treffern.
  

• Beispiel: wenn man mit 10 Würfeln hintereinander würfelt hat man eine Kette der Länge 10.
  

• Wie groß ist für so eine Kette die Wahrscheinlichkeit genau 8 Treffer (6er) zu bekommen?
  

• Mehr unter Bernoulli-Kette ↗
  

Was ist der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette?

• Das ist die durchschnittliche Anzahl von Treffern,
  

• die man bekäme, wenn die Bernoulli-Kette n Versuche lang ist ...
  

• und man die den ganzen Kettenversuch unendlich oft wiederholen würde.
  

Was wäre ein konkretes Beispiel?

• Das einzelne Bernoulli-Experiment wäre Würfeln.
  

• Man unterscheidet die Zahl (Treffer) und alle anderen Zahlen (nicht-Treffer).
  

• Die Wahrscheinlichkeit p für eine 1 bei einmaligen Würfeln ist 1/6.
  

• Jetzt denkt man sich als Ketten-Experiment: 12 mal würfeln.
  

• Die Bernoulli-Kette hat die Länge n=12 (12 Einzelexperimente).
  

• Die Frage ist: wie viele Einer kommen in dieser Kette im Schnitt heraus?
  

• Die Antwort darauf ist der Erwartungswert, es wäre hier: 2.
  

• Wenn man mit 10 Würfeln würfelt, kommen im Schnitt 2 Einser.
  

Wie berechnet man den Erwartungswert?

• μ = n·p
  

• n = Länge der Bernoulli-Kette
  

• p = die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer im Bernoulli-Einzelexperiment.