Allgemeine Form aus drei Punkten
Anleitung
Basiswissen
Eine Parabelgleich oder quadratische Gleichung soll aus drei bekannten Punkten eines Graphen aufgestellt werden. Hier steht ein Verfahren dazu, dass immer anwendbar ist.
Allgemeine Form
- Für eine quadratische Funktion: f(x) = ax² + bx + c
- Für eine Parabelgleichung: y = ax² + bx + c
Gegeben
- Gegeben sind 3 Punkte.
- Diese Methode geht auch, wenn einer der Punkte der Scheitelpunkt ist.
- Man muss dazu nicht wissen, ob oder welcher Punkt der Scheitelpunkt ist.
Überhaupt lösbar?
Nicht immer kann man eine Parabel durch drei Punkte legen. Liegen zum Beispiel alle drei Punkte auf einer Geraden, ist es nicht möglich. Auch wenn zwei Punkte senkrecht übereinander liegen, kann man daraus auch keine Parabelgleichung aufstellen. Man muss diese Fälle nicht vorher erkennen. Kann man keine Parabel aufstellen, wird das unten beschriebene Gleichungssystem keine Lösung haben.
Verfahren
- Beispiel: P(1|4) Q(2|7) R(5|28)
- Man setzt die drei Punkte nacheinander in die Allgemeine Form ein ein.
- Die allgemeine Form ist: f(x) = ax² + bx + c
Einsetzen:
- 4 = a·1² + b·1 + c
- 7 = a·2² + b·2 + c
- 28 = a·5² + b·5 + c
Sortieren:
- 4 = 1a + 1b + c
- 7 = 4a + 2b + c
- 28 = 25a + 5b + c
- Das ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Unbekannten.
- Wenn man es löst, hat man die Werte für a, b und c.
- Wie man LGs löst steht unter LGS mit drei Gleichungen lösen ↗
- Im Beispiel ist die Lösung: a=1 b=0 und c=3
- Das in die Allgemeine Form einsetzen: f(x)=1x²+0x+3
- Vereinfachen gibt: f(x)=x²+3