Schnittpunkte von Geraden mit x-Achse 3D

Vektorrechnung

Basiswissen

Lösungsidee

• Im Schnittpunkt müssen die y- und die z-Koordinaten jeweils 0 sein.
  

• Man setzt also im Ortsvektor x die Komponenten x und y gleich 0.
  

• Die x-Koordinate selbst ist dann gesucht, man setzt sie als Unbekannte x ein.
  

Genau eine Lösung

• Gibt es einen Schnittpunkt, so erhält man für die Unbekannte x und den Parameter r Zahlenwerte.
  

• Diese Zahlenwerte müssen alle drei Gleichungen des Systems erfüllen.
  

• Der Schnittpunkt liegt dann bei (x|0|0)
  

Keine Lösung

• Gibt es für x und r keine Werte, die alle drei Gleichungen erfüllen, ...
  

• dann hat die Gerade g keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
  

Beispiel mit Schnittpunkt

• g: (2|3|4)+r(6|-3|-4)
  

• Man setzt den Term für die Gerade gleich (x|0|0).
  

• Es entsteht daraus ein lineares Gleichungssystem:
  

• x = 2 + 6r
  

• 0 = 3 - 3r
  

• 0 = 4 - 4r
  

• Über die zwei unteren Gleichungen erhält man: r = 1
  

• Das in die obere einsetzen gibt: x=8
  

• Also ist (8|0|0) der Schnittpunkt von g mit der x-Achse.
  

Beispiel ohne Schnittpunkt

• g: (2|3|8)+r(6|-3|-4)
  

• Man setzt den Term für die Gerade gleich (x|0|0).
  

• Es entsteht daraus ein lineares Gleichungssystem:
  

• x = 2 + 6r
  

• 0 = 3 - 3r
  

• 0 = 8 - 4r
  

• Über die mittlere Gleichung erhält man r = 1.
  

• Über die unterste Gleichung erhält man r = 2.
  

• r darf aber nur einen Wert annehmen nicht zwei.
  

• Schluss: diese Gerade hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.