Lösbare Gleichung
Definition
Basiswissen
Eine Gleichung, die mindestens eine Lösung hat. Es gibt auch Gleichungen mit zwei, mehreren, unendlich vielen oder keinen Lösungen oder auch mit mehreren Unbekannten. Auch ist der Zahlenbereich wichtig. Das ist vorgestellt.
Was heißt Gleichung lösen?
Jede Zahl, die man für x einsetzen kann und bei der die Gleichung dann zu einer wahren Aussage wird (also "aufgeht") nennt man Lösung dieser Gleichung. Beispiel: Wenn man in die Gleichung x·x=9 die Zahl 3 einsetzt, dann geht die Gleichung auf. Also ist die 3 eine Lösung. (Eine zweite Lösung wäre die -3).
Warum sagt man "mindestens"?
Viele Gleichungen haben nur eine Lösung. 2x=8 hat als einzige Lösung die Zahl 4. Aber x²=9 hat ja zum Beispiel zwei Lösungen. Und Gleichungen mit mehreren Unbekannten können sogar unendlich viele Lösungen haben.
Gibt es Gleichungen mit mehreren Unbekannten?
Ja. Die Gleichung x+y=10 hat als Unbekannte das x und das y. Die Lösung wäre hier ein Zahlenpaar, mit dem die Gleichung aufgeht. Es ginge zum Beispiel für x=9 und y=1. Eine andere Lösung wäre x=8 und y=2. Jedes Pärchen ist hier eine Lösung. Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn man auch Kommazahlen (reelle Zahlen) erlaubt.
Hat jede Gleichung eine Lösung?
Nein. Betrachte die Gleichung x+1=x. Auf Deutsch würde das heißen: Suche eine Zahl, die ich um eins erhöhen kann und die sich dadurch trotzdem nicht verändert. So etwas ist unmöglich. Es gibt keine Zahl für das x, sodass die Gleichung zu eine wahren Aussage wird, also aufgeht. Die Gleichung ist unlösbar.
Warum sind Zahlenbereiche wichtig?
Oft will man, dass die Lösung zu einem bestimmten Zahlenbereich gehört. Wichtige Zahlenbereiche im Zusammenhang mit Gleichungen sind die natürlichen Zahlen (1; 2; 3 etc.), die reellen Zahlen (alle auf dem Zahlenstrahl) oder später in der Oberstufe auch die komplexen Zahlen. Eine Gleichung, mit der man etwa die Anzahl der Personen berechnen will, die ein Fahrstuhl tragen kann, würde es wenig Sinn machen, wenn man die Kommazahl 1,8 als Lösung zulässt. Was soll man sich unter "1,8 Personen" vorstellen? Hier würde es Sinn machen, die Lösungsmenge nur auf natürliche Zahlen einzuschränken.
Was haben die Zahlenbereich mit der Lösbarkeit zu tun?
Es gibt Gleichungen, die in einem Zahlenbereich Lösungen haben und in einem anderen Zahlenbereich nicht. Die Gleichung 2x=7 hat in den reellen Zahlen die Lösung 3,5. Aber in den natürlichen Zahlen hätte sie keine Lösung. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Doppeltes genau 7 ergibt. Ein weiteres Beispiel ist x²=-1. Es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selbst malgenommen -1 ergibt. Aber in den komplexen Zahlen gibt es dafür eine Lösung (Oberstufe, Studium).
Kann man lösbare Gleichungen leicht erkennen?
Nicht immer. Bei x²=9 sieht man es eigentlich sofort. Aber für die sogenannte Fermatsche Vermutung dauerte es 350 Jahre, bis man sich sicher war, dass es keine Lösung gibt. Bis dahin wusste man nicht, ob es eine Lösung gibt oder nicht.
Was schreibt man als Antwort?
Wenn man in der Schule Gleichungen lösen soll, muss man am Ende immer eine Antwort hinschreiben. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten
- Schreibe auf Deutsch: x=3 oder x=-3
- Schreibe formal: x=3 v x=-3 (das v ist kurz für "oder").
- Schreibe formal: L={3; -3}
Wie löst man eine Gleichung?
Durch probieren, über umformen, mit speziellen Formeln wie zum Beispiel der pq-Formel, mit Hilfe von Computern oder auch graphisch: für eine Übersicht, siehe unter Gleichungen lösen ↗
