Hochpunkt als Alogismus
Widersprüchliche Definitionen
Basiswissen
Ein Hochpunkt im Sinne eines Extremums wird in der Literatur (Stand 2021) auf zwei Arten definiert: a) ein Punkt, der höher ist als alle anderen oder b) ein Punkt für den es keinen höheren gibt.
Problem
Definiert man einen Hochpunkt eines Bereiches darüber, dass es keine höheren Punkte geben darf, dann ist zum Beispiel jeder Punkt einer konstanten Funkion (waagrechte Gerade als Graph) ein Hochpunkt. Definiert man, dass ein Hochpunkt höher sein muss als alle anderen Punkte im betrachteten Bereich, dann hat eine konstante Funktion keinen Hochpunkt. Beide Definitionen kommen in der Literatur vor.
Hochpunkte werden in der Literatur teilweise als Punkte definiert, deren erste Ableitung 0 und deren zweite Ableigung negativ sein müssen. Anders gesagt: ihre Tangente hat die Steigung 0 und ihre Krümmung ist negativ. Diese Definition wird explizit für lokale Hochpunkte verwendet. Diese Definition schließt die Existenz von Hochpunkten auf einer konstanten Funktion aus und spricht damit eindeutig für die Variante a.
Lösungsmöglichkeit
- Es müsste eine begriffliche Trennung für die zwei Definitionsarten geben.
- Variante a) z. B. Höchstpunkt für: alle anderen Punkte sind niedriger
- Variante b) Z. B. Hochpunkt: es gibt keine höheren
- Oder eine Unterscheidung durch ein eindeutiges Adjektiv.
Literatur: Variante a: Papula
Der Papula lässt globale oder absolute Extremwerte undefiniert. Definiert werden aber relative bzw. lokale Extremwerte: "Eine Funktion y=f(x) besitzt an der Stelle xo ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung von xo stets f(x) = f(x) bzw. f(xo) < f(x) ist (mit x ungleich xo)." Damit hat f(x)=5 keine lokalen Extremwerte. Quelle: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-0561-3. Verlag Springer Vieweg. Siehe auch Der Papula ↗
Literatur: Variante b: Spektrum Lexikon
Unter dem Eintrag Extremum wird ein Extremwert oder Maximum (global, absolut) definiert: Für eine Funktion f auf einer Menge D definiert ist a Element D genau dann ein globales Maximum, wenn f(x) kleiner oder gleich f(x) für alle x Werte aus dem Definitionsbereich gilt. Damit bestünde die Funktion f(x)=5 nur aus globalen Hochpunkten.
Literatur: Variante b: Wolfram MathWorld
Hier wird Extremum im Sinne der Analysis definiert über die Begriffe Maximum und Minimum. Das Maximum einer Menge wird definiert als das letzte Element einer (aufsteigend) geordneten Liste. Auf der Seite wird explizit das Beispiel genannt: max(x,x)=x. Damit muss das Maximum nicht höher sein als andere Elemente. Es darf auch gleich hohe andere Elemente geben. Damit besteht f(x)=5 nur aus Hochpunkten. Quelle (Dez 2020): https://mathworld.wolfram.com/Extremum.html
Literatur: Variante b: Bronstein & Semendjajew
Unter dem Eintrag "Extremwerte von Funktion" wird eindeutig definiert, dass eine Funktion f(x) mit dem Definitionsbereich D an der Stelle a ein absolutes oder globales Maximimum hat, wenn für alle x Element D die Ungleichung f(a) größer oder gleich f(x) ist. Für lokale Maxima wird dieselbe Ungleichung für die Epsilon-Umgebung verwendet. Damit gilt nach Bronstein: f(x)=5 besteht nur aus Hochpunkten. Quelle: Bronstein, Semendjawew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Mehr unter Der Bronstein ↗