Eins-durch-Wurzel-n-Gesetz

Stochastik

Basiswissen

Was ist eine Binomialverteilung?

• Binomialverteilung hängt eng zusammen mit dem Thema Bernoulli-Kette.
  

• Man hat eine Anzahl von n Bernoulli-Experimenten:
  

• Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment, bei dem man nur zwischen Treffer und nicht-Treffer unterscheidet.
  

• Beispiel: man würfelt mit einem normalen Würfel und unterscheidet: "es kam eine 6" oder "es kam keine 6".
  

• Die Binomialverteilung ist die Angabe, wie groß die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Trefferanzahlen ist.
  

• Wenn man genau n = 4 mal würfelt, dann verteilen sich die gerundeten Wahrscheinlichkeit so:
  

• Es kommen genau 0 Sechser: 48 %
  

• Es kommt genau 1 Sechser: 39 %
  

• Es kommen genau 2 Sechser: 12 %
  

• Es kommen genau 3 Sechser: 2 %
  

• Es kommen genau 4 Sechser: 0 %
  

• Diese ganze Übersicht ist die Binomialverteilung.
  

Was ist die relative Erfolgshäufigkeit?

• Als Erfolg gilt, wenn man bei einem Bernoulli-Experiment einen Treffer hat.
  

• Ein Erfolg im Würfelbeispiel war also: man würfelt eine Sechs.
  

• Die Erfolgshäufigkeit ist dann die tatsächliche Anzahl von Treffern.
  

• Die relative Erfolgshäufigkeit bezieht diesen Wert noch auf die Anzahl aller Experiment n.
  

• Wenn man also n=4 mal würfelt und genau einen Treffer hat, dann...
  

• ist die relative Erfolgshäufigkeit 1/4 oder 0,25 oder 25 %.
  

• Dies ist ein empirischer, tatsächlich beobachteter Wert.
  

Was sagt das 1/√n-Gesetz dann aus?

• Im Beispiel oben war n=4.
  

• 1/√n ist dann: 1/√4 = 1/2 = 0,5
  

• Die empirische Erfolgshäufigkeit lag bei 25 %.
  

• Sie weicht nach dem 1/√n-Gesetz nur selten um mehr als 50 % vom theoretischen Wert ab.
  

• Der theoretische Wert wäre also zwischne -25 % und +75 % zu erwarten.
  

• Da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt, ist er ...
  

• zwischen 0 und 75 % zu erwarten.