Zweite Ableitung f''(x) Basiswissen f(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Zudem hilft sie zu entscheiden, welche Art von Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt?) vorliegt. Beide Themen sind hier näher erklärt. Eine wichtiger Unterschied vorab: Wert oder Funktion? Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x). Siehe mehr dazu unter Ableitungsfunktion ↗ Definition Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 10x³ Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =20x² Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 40x Das ist die zweite Ableitung. Siehe auch ableiten ↗ Sprech- und Schreibweisen Variante I: erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x Variante I: zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x Variante II: erste Ableitung = y', sprich: y-Strich Variante II: zweite Ableitung = y'', sprich: y-zwei-Strich Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x). Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x). Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion rechtsgekrümmt ↗ Wo die zweite Ableitung positive Werte hat ist sie linksgekrümmt ↗ Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder linear (gerade) verlaufen. Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung [1] Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt, auch konvex genannt. Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt, auch konkav genannt. Setzt man einen x-Wert in f''(x) ein, erhält man Informationen zur Krümmung an dieser Stelle: f''(x) < 0 Rechtskrümmung [konkav] ↗ f''(x) > 0 Linkskrümmung [konvex] ↗ f''(x) = 0 keine eindeutige Krümmung ↗ Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung. Die Stärke der Krümmung beschreibt das Krümmungsmaß ↗ Die zweite Ableitung und Extrempunkte Setzt man den x-Wert von einem Extrempunkt in die zweite Ableitung ein, erhält man weitere Informationen zu dem Extrempunkt. Da ein Tiefpunkt immer im Bereich eine Linkskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung größer 0 Tiefpunkt ↗ Da ein Hochpunkt immer im Bereich eine Rechtskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung kleiner 0 Hochpunkt ↗ Die zweite Ableitung und Wende- sowie Sattelpunkte Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt. Beiden Punkten ist gemeinsam: hier wechselt die Krümmung von links nach rechts oder umgekehrt. An dem Punkt selbst ist der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt. Der Wert der zweite Ableitung muss dort Null sein. Siehe auch Wendepunkt ↗ Berechnung der zweiten Ableitung Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung. f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2 f''(x) nennt man auch die zweite Ableitungsfunktion ↗ Setzt man dort einen x-Wert ein, erhält man den Wert der zweiten Ableitung. Mehr zur Berechnung unter zweite Ableitung bilden ↗ Rechenbeispiel zur zweiten Ableitung f(x) = 2x³ f'(x) = 6x² f''(x) = 12x An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort liegt möglicherweise ein Wendepunkt ↗ An der Stelle x=2 erhält man f''(2) = 24. Dort ist der Graph also linksgekrümmt ↗ An der Stelle x=-2 erhält man f''(-2) = -24. Dort ist der Graph als rechtsgekrümmt ↗ Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die Krümmung ↗ f(x)=x⁴ als problematischer Sonderfall Der Graph von f(x)=x⁴ ähnelt einer Parabel und heißt quartische Parabel ↗ Der Graph ist von der sichtbaren Form her durchgängig linksgekrümmt. Der Graph hat weder erkennbare Wendepunkte noch Geraden. Theoretisch müsse der Wert der zweiten Ableitung für alle x-Werte positiv sein. Das ist er aber nicht, denn: f''(x) = 12x² und f''(0)=0. Siehe auch zweite Ableitung gleich null ↗ Zusammenfassung Zweite Ableitung ist kleiner Null ⭢ f(x) ist rechtsgekrümmt Zweite Ableitung ist größer Null ⭢ f(x) ist linkgekrümmt Zweite Ableitung ist genau Null ⭢ möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt) Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte nicht Sattelpunkt ↗ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte auch Geradengleichung ↗ Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht Wendepunkt ↗ Fußnoten [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Hier das Kapitel: Geometrische Deutung der 2. Ableitung. Seite 372 ff. Siehe auch Der Papula ↗ Die zweite Ableitung f''(x) in verschiedenen Schreibweisen: oben links die sogenannt Lagrange-Notation, oben rechts die sogenannte Leibniz-Schreibweise. Wo die zweite Ableitung negativ ist, ist ein Graph rechtsgekrümmt, wo sie positiv ist, ist er linksgekrümmt. Gunter Heim Ableitungen [erste, zweite, dritte] Zweite Ableitungen [Beispiele] Zweite Ableitung gleich Null Zweite Ableitung bilden Erste Ableitung [f'(x)] Dritte Ableitung [f'''(x)] Ableiten [wie es geht] Ableitung [Übersicht] Ableitungsfunktion Keine Krümmung Sattelpunkt [f''(x)=0] Wendepunkt [f''(x)=0] Gerade [f''(x)=0] Hochpunkt [f''(x)<0] Tiefpunkt [f''(x)>0] Krümmung Differentialrechnung Analysis Zweite Ableitung auf Wikipedia Zurück zur Startseite