Zweite Ableitung


f''(x)


Basiswissen


Man hat eine Funktion f(x). Leitet man sie einmal ab, erhält man f'(x). Leitet man das noch einmal ab, erhält man die zweite Ableitung f''(x) von f(x). Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der eigentlichen Funktion f(x) aus.

Definition


◦ Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 2x³
◦ Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =6x²
◦ Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 12x
◦ Das ist die zweite Ableitung.

Sprechweisen


◦ Erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x
◦ Zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x

Bedeutung


◦ Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion rechtsgekrümmt
◦ Wo die zweite Ableitung positive Werte hat ist sie linksgekrümmt.
◦ Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder lineare (gerade) verlaufen.

Krümmung


◦ Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt.
◦ Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt.
◦ f''(x) < 0 => Rechtskrümmung
◦ f''(x) > 0 => Linkskrümmung

Berechnung =====

◦ Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung.
◦ f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2
◦ Mehr unter => zweite Ableitung bilden

Tipp


◦ Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung aus.
◦ Man kann mit der zweiten Ableitung nur unterscheiden ob, Links- oder Rechtskrümmung vorliegt.

Rechenbeispiel


◦ f(x) = 2x³
◦ f'(x) = 6x²
◦ f''(x) = 12x
◦ An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort ist ein Wendepunkt möglich.
◦ An der Stelle x=2 erhält man f''(2) = 24. Dort ist der Graph also linkgekrümmt.
◦ An der Stelle x=-2 erhält man f''(-2) = -24. Dort ist der Graph als rechtsgekrümmt.
◦ Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die Krümmung.

Zusammenfassung


◦ Zweite Ableitung ist kleiner Null -> f(x) ist rechtsgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist größer Null -> f(x) ist linkgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist genau Null -> möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt)

◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt

◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte nicht: Sattelpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte auch: Geradengleichung
◦ Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht: Wendepunkt