Zweite Ableitung


f''(x)


Basiswissen


f(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Das ist hier näher erklärt.

Definition


◦ Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 10x³
◦ Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =20x²
◦ Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 40x
◦ Das ist die zweite Ableitung.
◦ Siehe auch => ableiten

Sprechweisen


◦ Erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x
◦ Zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x

Bedeutung


◦ Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion => rechtsgekrümmt
◦ Wo die zweite Ableitung positive Werte hat ist sie => linksgekrümmt
◦ Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder linear (gerade) verlaufen.

Krümmung


◦ Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt.
◦ Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt.
◦ f''(x) < 0 => Rechtskrümmung
◦ f''(x) > 0 => Linkskrümmung
◦ f''(x) = 0 => Keine Krümmung

Berechnung


◦ Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung.
◦ f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2
◦ Mehr unter => zweite Ableitung bilden

Tipp


◦ Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung aus.
◦ Man kann mit der zweiten Ableitung nur unterscheiden ob, Links- oder Rechtskrümmung vorliegt.

Rechenbeispiel


◦ f(x) = 2x³
◦ f'(x) = 6x²
◦ f''(x) = 12x
◦ An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort ist ein Wendepunkt möglich.
◦ An der Stelle x=2 erhält man f''(2) = 24. Dort ist der Graph also linkgekrümmt.
◦ An der Stelle x=-2 erhält man f''(-2) = -24. Dort ist der Graph als rechtsgekrümmt.
◦ Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die Krümmung.

Zusammenfassung


◦ Zweite Ableitung ist kleiner Null -> f(x) ist rechtsgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist größer Null -> f(x) ist linkgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist genau Null -> möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt)

◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt

◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte nicht: Sattelpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte auch: Geradengleichung
◦ Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht: Wendepunkt