Zweite Ableitung


f''(x)


Basiswissen


f(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Zudem hilft so zu entscheiden, welche Art von Extrempunkt vorliegt. Beide Themen sind hier näher erklärt.

Eine wichtiger Unterschied: Wert oder Funktion?


Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x). Siehe mehr dazu unter => Ableitungsfunktion

Definition


◦ Man hat eine Funktion f(x) gegeben, zum Beispiel: f(x) = 10x³
◦ Man kann diese Funktion ableiten zu f'(x) =20x²
◦ Man kann f'(x) selbst ableiten zu f''(x) = 40x
◦ Das ist die zweite Ableitung.
◦ Siehe auch => ableiten

Sprech- und Schreibweisen


◦ Variante I: erste Ableitung = f'(x), sprich: f-Strich-von-x
◦ Variante I: zweite Ableitung = f''(x), sprich: f-zwei-Strich-von-x
◦ Variante II: erste Ableitung = y', sprich: y-Strich
◦ Variante II: zweite Ableitung = y'', sprich: y-zwei-Strich

Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung


◦ Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).
◦ Dort wo die zweite Ableitung negative Werte hat ist die ursprüngliche Funktion => rechtsgekrümmt
◦ Wo die zweite Ableitung positive Werte hat ist sie => linksgekrümmt
◦ Wo die zweite Ableitung den Wert 0 hat, kann die ursprüngliche Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt haben oder linear (gerade) verlaufen.

Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung [1]


◦ Wo der Graph von f(x) eher talförmige Formen hat (wie ein u) ist er linksgekrümmt, auch konvex genannt.
◦ Wo der Graph von f(x) eher bergförmig ist, ist er rechtsgekrümmt, auch konkav genannt.
◦ Setzt man einen x-Wert in f''(x) ein, erhält man Informationen zur Krümmung an dieser Stelle:
◦ f''(x) < 0 => Rechtskrümmung [konkav]
◦ f''(x) > 0 => Linkskrümmung [konvex]
◦ f''(x) = 0 => keine eindeutige Krümmung

Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung


◦ Die zweite Ableitung sagt nichts über die Stärke der Krümmung.
◦ Die Stärke der Krümmung beschreibt das => Krümmungsmaß

Die zweite Ableitung und Extrempunkte


◦ Setzt man den x-Wert von einem Extrempunkt in die zweite Ableitung ein, erhält man weitere Informationen zu dem Extrempunkt.
◦ Da ein Tiefpunkt immer im Bereich eine Linkskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung größer 0 => Tiefpunkt
◦ Da ein Hochpunkt immer im Bereich eine Rechtskrümmung liegt gilt: zweite Ableitung kleiner 0 => Hochpunkt

Die zweite Ableitung und Wende- sowie Sattelpunkte


◦ Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt.
◦ Beiden Punkten ist gemeinsam: hier wechselt die Krümmung von links nach rechts oder umgekehrt.
◦ An dem Punkt selbst ist der Graph weder links- noch rechtsgekrümmt.
◦ Der Wert der zweite Ableitung muss dort Null sein. Siehe auch => Wendepunkt

Berechnung der zweiten Ableitung


◦ Die erste Ableitung f'(x) abgeleitet gibt die zweite Ableitung.
◦ f'(x) = 2x-1 abgeleitet gibt z. B. f''(x) = 2
◦ f''(x) nennt man auch die zweite => Ableitungsfunktion
◦ Setzt man dort einen x-Wert ein, erhält man den Wert der zweiten Ableitung.
◦ Mehr zur Berechnung unter => zweite Ableitung bilden

Rechenbeispiel


◦ f(x) = 2x³
◦ f'(x) = 6x²
◦ f''(x) = 12x
◦ An der Stelle x=0 erhält man f''(0) = 0. Dort liegt möglicherweise ein => Wendepunkt
◦ An der Stelle x=2 erhält man f''(2) = 24. Dort ist der Graph also => linksgekrümmt
◦ An der Stelle x=-2 erhält man f''(-2) = -24. Dort ist der Graph als => rechtsgekrümmt
◦ Setzt man weitere x-Werte ein, erhält man weitere Informationen über die => Krümmung

Problemfall f(x)=x⁴


◦ Der Graph von f(x)=x⁴ ähnelt einer Parabel und heißt => quartische Parabel
◦ Der Graph ist von der sichtbaren Form her durchgängig linksgekrümmt.
◦ Der Graph hat weder erkennbare Wendepunkte noch Geraden.
◦ Theoretisch müsse der Wert der zweiten Ableitung für alle x-Werte positiv sein.
◦ Das ist er aber nicht, denn: f''(x) = 12x² und f''(0)=0.
◦ Siehe auch => zweite Ableitung gleich null

Zusammenfassung


◦ Zweite Ableitung ist kleiner Null ⭢ f(x) ist rechtsgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist größer Null ⭢ f(x) ist linkgekrümmt
◦ Zweite Ableitung ist genau Null ⭢ möglicher Wende/Sattelpunkt (weder links- noch rechtsgekrümmt)

◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist negativ: Hochpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist positiv: Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite ist auch null: möglicher Sattelpunkt

◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte nicht => Sattelpunkt
◦ Erste Ableitung war Null, zweite auch, dritte auch => Geradengleichung
◦ Erste Ableigung ungleich Null, zweite Null, dritte nicht => Wendepunkt

Literatur


◦ [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Hier das Kapitel: Geometrische Deutung der 2. Ableitung. Seite 372 ff. Siehe auch => Der Papula