Winkel zwischen Ebenen
Vektorrechnung
Grundidee
Als Winkel zwischen zwei Ebenen ist der kleinstmögliche Winkel definiert, den man mit einem Schnittpunkt der Ebenen als Scheitel und davon ausgehend zwei Linien in je einer der Ebenen als Schenkel bestimmen kann. Dieser Winkel ist immer auch der Winkel zwischen den zwei Normalenvektoren der Ebenen. Ein häufiges Formelzeichen ist das kleine griechische phi (φ). Hier werden verschiedene Lösungswege kurz vorgestellt.
Lösungsidee für Winkel zwischen Ebenen
Der gesuchte Winkel zwischen zwei Ebenen kann berechnet werden, indem man von jeder Ebene einen sogenannten Normalenvektor nimmt. Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Man berechnet dann den Winkel zwischen diesen zwei Normalenvektoren. Das Ergebnis ist dann immer auch der Winkel zwischen denen Ebenen[1]. Was man am Anfang also braucht ist für jede der zwei Ebenen einen Normalenvektor ↗
Beide Ebenen sind in der Parameterform gegeben
Sind die beiden Ebenen in der Parameterform, also mit je einem Stütz- und je zwei Richtungsvektoren, dann geht man so vor: man bildet für jede Ebene das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) der zwei Richtungsvektoren. Das Ergebnis ist dann immer auch ein Normalenvektor der Ebene. Wenn man die zwei Normalenvektoren hat, kann man den Winkel zwischen ihnen berechnen. Das Ergebnis ist dann auch der Winkel zwischen den zwei Ebenen. Für den ersten Schritt siehe Normalenvektor einer Ebene in Parameterform ↗
Beide Ebenen sind in der Koordinatenform gegeben
Das ist besonders einfach: die Gleichung 4x+2y-8z=20 definiert eine Ebene in Koordinatenform. Die drei Zahlen vor dem x, y und z (oder x1, x2 oder x2) kann man als Gruppe von drei Zahlen auch als die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene deuten. Der Vektor (4 2 -8) ist also ein Normalenvektor der Ebene. So kann man von jeder Ebene einen Normalenvektor direkt ablesen. Von den zwei Vektoren berechnet man den Winkel. Der Winkel zwischen diesen Vektoren ist dann auch der gesuchte Winkel zwischen den zwei Ebenen in Koordinatenform. Für den ersten Schritt siehe auch Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform ↗
Beide Ebenen sind in einer Normalenform gegeben
Auch das ist besonders einfach: die Gleichung 4x+2y-8z=20 definiert eine Ebene in Koordinatenform. Die drei Zahlen vor dem x, y und z (oder x1, x2 oder x2) kann man als Gruppe von drei Zahlen auch als die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene deuten. Der Vektor (4 2 -8) ist also ein Normalenvektor der Ebene. So kann man von jeder Ebene einen Normalenvektor direkt ablesen. Von den zwei Vektoren berechnet man den Winkel. Der Winkel zwischen diesen Vektoren ist dann auch der gesuchte Winkel zwischen den zwei Ebenen in Koordinatenform. Für den ersten Schritt siehe auch Normalenvektor einer Ebene in Koordinatenform ↗
Fußnoten
- [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort heißt es auf Seite 133: "Der Schnittwinkel φ zweier Ebenen E1 und E2 ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren n1 und n2."