Wendepunkte bestimmen


Anleitung


Basiswissen


Über f''(x) und f'''(x) oder auch das Vorzeichenkriterium oder graphisch: hier stehen Anleitungen, wie man Wendepunkte auf Graphen von Funktionen bestimmt. Übrigens: auch ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, nur ein besonderer.

Was meint Punkt hier?


◦ Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmung ändert.
◦ Krümmungsänderung meint hier "von links nach rechts" oder umgekehrt.
◦ Der Punkt setzt sich aus einer x- und einer y-Koordinate zusammen.
◦ Wendestelle meint nur den x-Wert.
◦ Wendewert meint nur den y-Wert.
◦ Wendepunkt meint beides zusammen.
◦ WP ist die Abkürzung.

Wendepunkt graphisch bestimmen =====

◦ Man geht gedanklich mit dem Finger von links nach rechts den Graphen einer Funktion entlang.
◦ An einem Punkt, an dem die Krümmung von links nach rechts wechselt oder umgekehrt ist ein Wendepunkt.
◦ Man kann von diesem Punkt dann die x- und y- Koordinaten ablesen. Das ist der Wendepunkt.
◦ Siehe auch als Tipp auch => 2D-Punkt aus Koordinatensystem [ablesen]
◦ Hintergrund => Rechtskrümmung
◦ Hintergrund => Linkskrümmung

Wendepunkt rechnerisch bestimmen =====

In der Schulmathematik werden Wendepunkte meist rechnerisch über Ableitungen bestimmt. Man benötigt dafür nur die zweite und die dritte Ableitung. Das ist hier Schritt für Schritt erklärt.

f' und der WP


◦ f' ist die erste Ableitung.
◦ Sie ist für Wendepunkte egal.
◦ Man braucht sie nur, um damit ...
◦ die zweite Ableitung zu erstellen.
◦ Beispiel: f(x)=x³ gibt f'(x)=3x².

f'' und der WP


◦ f'' ist die zweite Ableitung.
◦ Man leitet also f'(x) noch einmal ab.
◦ f'(x) abgeleitet gibt f''(x)=6x.
◦ Für den WP muss f''(x)=0 werden.
◦ Also: f'' gleich 0 setzen und nach x auflösen
◦ Im Beispiel gibt kommt heraus: x=0
◦ Bei x=0 ist jetzt ein WP möglich.
◦ Wäre die Gleichung nicht lösbar gewesen, ...
◦ dann gäbe es auch sicher keinen Wendepunkt.
◦ Hier im Beispiel ist aber ein WP möglich.
◦ Ob bei x=0 wirklich ein WP vorliegt, ...
◦ das sagt die dritte Ableitung f'''.

f''' und der WP


◦ f''' ist die dritte Ableitung.
◦ f''(x) abgeleitet gibt f'''(x).
◦ Im Beispiel gibt f''(x) abgeleitet f'''(x)=6.
◦ f'''(x) ist entweder eine Zahl oder ein Term mit x.
◦ Im Beispiel hier ist es einfach nur die Zahl 6.
◦ Falls sie ein Term mit x ist, setze dort x aus dem Schritt vorher ein.
◦ Berechne damit den Zahlenwert des Terms. Spätestens dann ist f''' eine Zahl.
◦ Wenn f'''(x) schon vorher eine Zahl war, mache mit dieser Zahl weiter.
◦ Im Beispiel war es die Zahl 6.
◦ Wenn diese Zahl kleiner als 0 ist, dann liegt dort ein => LR-WP
◦ Wenn diese Zahl größer als 0 ist, dann liegt dort ein => RL-WP
◦ Wenn diese Zahl gleich 0 ist, ist die Sache weiter unklar.
◦ Im Beispiel haben wir also einen => RL-WP
◦ Siehe auch => dritte Ableitung und Wendepunkt

LR und RL


◦ LR meint, dass die Krümmung von links nach rechts wechselt.
◦ RL meint, dass die Krümmung von rechts nach links wechselt.

Vorzeichenkriterium


◦ Die zweite Ableitung hat den x-Wert eines möglichen WP geliefert.
◦ Wenn f'''=0 wird, dann ist es unklar, ob dort tatsächlich ein WP liegt.
◦ Nur für diesen Fall verwendet man dann das Vorzeichenkriterium:
◦ Man überprüft dann die Krümmung links und rechts vom möglichen x-Wert.
◦ Ist der mögliche x-Wert eines WP z. B. 4, dann nimmt man die 3,9 und die 4,1.
◦ Diese Zahlen setzt man in die zweite Ableitung f'' ein und sieht was rauskommt.
◦ Ist f'' einmal positiv und einmal negativ, dann ist bei dem x-Wert sicher ein WP.
◦ Ist f'' beide mal positiv, beide mal negativ oder beide mal 0, dann sicher nicht.
◦ Nur wenn es also einen Vorzeichenwechsel von f'' gibt, hat man sicher einen WP.

Wie findet man den y-Wert?

◦ Man nimmt die x-Werte von sicheren Wendepunkten.
◦ Man setzt die x-Werte der gefundenen Wendepunkte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
◦ Was dabei rauskommt sind die y-Werte der Wendepunkte.
◦ Im Beispiel wäre der x-Wert die Zahl 0.
◦ In f(x) eingesetzt gibt das y=0.
◦ Der WP ist also bei (0|0).

Tipp


◦ Wenn möglich, immer den Graphen der Funktion betrachten.
◦ WP erkennt man oft leicht. Damit kann man das Ergebnis überprüfen.