Strahlensatz
Geometrie
Basiswissen
Man hat zwei ähnliche Dreiecke. Ähnlich heißt: beide haben exakt dieselbe Form, sie dürfen aber unterschiedlich groß sein. Der Strahlensatz sagt dann, wie man unbekannte Längen auf einfachem Weg schnell berechnen kann.
Einführung
Der Strahlensatz, oft wird auch von einem ersten und zweiten Strahlensatz gesprochen, wird meistens über Formeln zu bestimmten Seiten von Dreiecken erklärt. Die Erklärung hier führt zu denselben Ergebnissen, leitet aber den Strahlensatz anschaulich aus der Idee ähnlicher Dreiecke her. Der Strahlensatz ist damit keine neues eigenes Thema sondern nur eine Anwendung des Themas ähnlicher Dreiecke.
Der Strahlensatz liefert ähnliche Dreiecke
- Zuerst soll man zwei Geraden zeichnen, die sich schneiden.
- Dadurch entsteht eine X-Figur.
- Man stellt sich das X als unendlich lang vor.
- Jetzt zeichnet man zwei andere Geraden.
- Diese zwei anderen Geraden sollen parallel zueinander sein.
- Keine dieser zwei Geraden darf durch den Kreuzungspunkt des X gehen.
- Es ist ansonsten völlig egal, wo die zwei parallelen Geraden liegen.
- Es werden dann am Ende immer zwei Dreiecke in dem Bild entstanden sein.
- Und diese Dreiecke sind immer ähnlich zueinander.
- Ähnlich heißt: sie haben auf jeden Fall dieselbe Form.
- Sie dürfen aber unterschiedlich groß sein.
Ähnliche Dreiecke kann man leicht berechnen
- Er sagt voraus, wann wo ähnliche Dreiecke entstehen.
- Und bei ähnlichen Dreiecken kann man fehlende Längenangaben ausrechnen.
- Wie das geht steht unter Ähnliche Dreiecke berechnen ↗
Versuche zum Strahlensatz
- 10 bis 30 Minuten Baumhöhe über Strahlensatz ↗
- 5 bis 10 Minuten Lupen-Strahlensatz-Versuch ↗
Was meint "Strahl"?
- In der Geometrie ist ein Strahl immer eine gerade Linie.
- Ein Strahl hat einen Anfangspunkt aber keine Ende.
- Für einen Strahlensatz ist es aber nur wichtig, dass die Linie gerade ist.
- Es ist egal, ob sie unendlich oder begrenzt ist.
- Siehe auch Strahl ↗
Was ist der Nutzen des Strahlensatzes?
Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man Entfernungen und Längen von Strecken messen sozusagen, ohne dass man dabei die zu messende Strecke selbst erreichen können muss. Man kann etwa den Abstand zu einem Turm auf einer fernen Insel bestimmen oder die Höhe eines Berges, den man nicht erklimmen kann. Das geht zwar auch mit Hilfe der sogenannten Trigonometrie, also der Geometrie mit Hilfe von Winkeln, aber beim Strahlensatz muss man noch nicht einmal Winkel messen. Die genaue Messung von Winkeln kann je nach Gelände kann sehr viel aufwändiger sein als das Abschreiten und Messen von Strecken. Es genügt, wenn man Strecken misst (etwa durch Abschreiten) und eine einfache Peilvorrichtung hat (im einfachsten Fall ein kleines Rohr). Verschiedene Anwendungen waren immer wieder Gegenstand von ausführlichen Erklärungen in historischen Büchern[1].
Fußnoten
- [1] Wie man mit Hilfe der Strahlensätze die Entfernung zu einem Haus messen kann, ohne dass die zu messende Strecke selbst zugänglich sein muss, zeigt eindrucksvoll ein Bild von Levinus Hulsius aus dem Jahr 1604. Das Bild gehört in das Buch: Erster Tractat der mechanischen Instrumenten. Gründtlicher, augenscheinicher Bericht deß newen geometrischen gruntreissenden Instruments, Planimetra genannt, Frankfurt am Main, 1604. Dort die Seite 114.
