Spannarbeit über Integralrechnung

Anleitung

Basiswissen

Formel

• W = ∫F(s)·ds
  

Legende

• W = Spannarbeit, zum Beispiel in Nm ↗
  

• s = Spannweg oder Federweg
  

• ∫ = Hier ein bestimmtes Integral ↗
  

Erläuterung

• Bei manchen Federn gibt es eine Federkonstante:
  

• Die Kraft, mit der man zieht, ist proportional zur dadurch hinzugewonnen Länge.
  

• Diese Proportionalität ist aber eher die Ausnahme als die Regel.
  

• Bei vielen Federn und Gummis ändert sich die Zugkraft mit der Länge deutlich.
  

• Die dazu nötigen Funktionsgleichungen werden oft nur über Versuche ermittelt.
  

• Die Funktion, die zu jeder Länge s die momentane Kraft F gibt ist F(s).
  

• Diese Funktionsgleichung integriert man von der Startlänge als untere Grenze ...
  

• bis zur Endlänge als obere Grenze. Der Wert des Integrals ist dann die Spannarbeit.
  

• Man muss also ein bestimmtes Integral berechnen ↗
  

Beispiele

• Man hat einen Gummi und macht einen Gummibandversuch:
  

• Ruhelänge ohne ziehende Kraft: 28 cm
  

• Dehnung um 1 cm ≙ 1,0 N
  

• Dehnung um 2 cm ≙ 1,4 N
  

• Dehnung um 3 cm ≙ 1,8 N
  

• Dehnung um 4 cm ≙ 2,0 N
  

• Dehnung um 8 cm ≙ 2,8 N
  

• Näherung: F(s) = 0,4·s²-0,9·s+1,8
  

• Spannenergie von 2 cm bis 8 cm:
  

• W = ∫(0,4s²-0,9s+1,8)·ds
  

• Mit unterer (linker) Grenze: a=2
  

• Mit oberer (rechter) Grenze: b=8
  

• Aufleiten: 0,4s³:3 + 0,9s²:2 + 1,8s
  

• Vereinfachen: W ≈ 0,13x³ + 0,45s² + 1,8s
  

• Bestimmtes Integral berechnen: F(b)-F(a)
  

• W ≈ 110-6,44 ≈ 104 Newtonzentimeter
  

• W ≈ 0,1 Newtonmeter
  

Was ist der Gummibandversuch?