Scheitelpunktform in Faktorisierte Form

Schritt-für-Schritt

Basiswissen

Gegeben? Gesucht?

• SPF gegeben: f(x) = a(x-d)² + e
  

• FF gesucht: f(x) = a·(x-b)(x-c)
  

Achtung mit dem a

• Achtung: das a aus der SPF ist nicht automatisch auch das a aus der FF.
  

• Die beiden a-Werte können unterschiedlich sein.
  

Was ist der Lösungsweg?

• Es gibt unterschiedliche Lösungswege.
  

• Ein Lösungsweg, der immer funktioniert, ist hier nur grob skizziert.
  

• Die Idee ist: erst die Nullstellen bestimmen, und ...
  

• dann damit die faktorisierte Form aufstellen.
  

Lösungsbeispiel

• f(x) = 2·(x-2)² - 50
  

1. Schritt

• Man löst zuerst die Klammer auf.
  

• Dazu nimmt man die zweite binomische Formel:
  

• (x-2)² mit der zweiten binomischen Formel: x²-4x+4
  

• Die aufgelöste Klammer schreibt man in eine große eckige Klammer:
  

• f(x) = 2·[x²-4x+4] - 50
  

• Jetzt multipliziert man die eckige Klammer aus:
  

• f(x) = 2x² - 8x + 8 - 50
  

• Am Ende fasst man zusammen:
  

• f(x) = 2x² - 8x - 42
  

2. Schritt

• Leitkoeffizient ausklammern:
  

• Die Zahl vor dem x² heißt Leitkoeffizient ↗
  

• Steht dort eine andere Zahl als 1, klammert man diese erst aus:
  

• Man schreibt zunächst die Zahl vor eine große eckige Klammer:
  

• f(x) = 2[ ... ]
  

• Dann teilt man die rechte Seite der Funktionsgleichung durch diese Zahl.
  

• Das Ergebnis schreibt man in die eckige Klammer:
  

• f(x) = 2·[x² - 4x - 21]
  

3. Schritt

• pq-Formel:
  

• Jezt betrachte man nur den Teil in der eckigen Klammer.
  

• Dafür sucht man die Nulltellen.
  

• Siehe Nullstellen über pq-Formel ↗
  

• Man erhält die zwei Nullstellen:
  

• x = -3 und x = 7
  

4. Schritt

• Nullstellen in Bauplan einsetzen:
  

• Der Bauplan für die FF war: f(x) = a·(x-b)·(x-c)
  

• Das kleine a ist der in Schritt 2 ausgeklammerte Leitkoeffizient:
  

• Als Zwischenergebnis hat man: f(x) = 2·(x-b)·(x-c)
  

• Dann setzt man die Nullstellen für b und c ein.
  

• Dabei werden die Vorzeichen mit eingesetzt.
  

• Man setzt ein: f(x) = 2·(x-(-3))·(x-(7))
  

• Minus mal minus gibt plus, also:
  

• f(x) = 2·(x+3)·(x-7)
  

5. Schritt

• Am Ende macht man eine Probe.
  

• Man multipliziert die zwei Klammern der faktorisierten Form aus:
  

• Das geschieht nach dem Rechengesetzt für (a+b)(c+d) ↗
  

• f(x) = 2·(x+3)·(x-7) wird zu:
  

• f(x) = 2[x² - 7x + 3x + 21]
  

• f(x) = 2x² - 8x + 42 ✔