Satz vom Nullprodukt
Mathematik
Basiswissen
Enthält eine Malkette die Zahl 0 oder einen Term mit dem Wert 0 als Faktor, wird die ganze Malkette zu Null. Das nennt man den Satz vom Nullprodukt. Beispiel: (4+x)·0·(z+y+v). Das 0 mal irgendwas oder irgendwas mal 0 immer 0 ergibt, wird hier die ganze Malkette zu Null. Das ist hier näher erklärt.
Was heißt hier Produkt?
- 2·4=8
- Die Malkette links (2·4) ist ein Produktterm ↗
- Das Ergebnis rechts (die 8) ist der Produktwert ↗
- Beides nennt man kurz auch nur Produkt ↗
Was ist ein Nullprodukt?
- Nullprodukt meint eine Malkette, die zu 0 wird.
- Beispiel: 8·4·0 ist ein Nullprodukt ↗
- Die 0 ist der Nullfaktor ↗
Satz vom Nullprodukt
- Ein Produktterm (Malkette) besteht aus Faktoren.
- Gibt es in einem Produkt den Faktor 0 mindestens ein Mal, ...
- dann wird der ganze Produktterm immer automatisch zu 0.
- Das ist der Satz vom Nullprodukt.
Beispiel I
- 0·4 = 0
- 0·4·9999 = 0
- 3·7·0·1754 = 0
Beispiel II
- x·(x-1) = 0
- Der linke Faktor ist das x, der rechte die Klammer.
- Setzt man für x die 0 ein, wird der linke Faktor zu 0.
- Setzt man für x die 1 ein, wird der rechte Faktor zu 0.
- 0 und -1 wären also die Lösungen der Gleichung.
Beispiele III
- (x+3)·(x²-1)·x = 0
- Die linke Klammer ist der erste Faktor.
- Die zweite Klammer ist der zweite Faktor.
- Das alleinstehende x ist der dritte Faktor.
- Der linke Faktor wird für x=-3 zu 0.
- Der mittlere Faktor wird für x=-1 und x=1 zu 0.
- Der rechte Faktor wird für 0 zu 0.
- Die Lösungen der Gleichung wären {-3; 0; 1}
Wozu braucht man das?
- Zum Bestimmen von Nullstellen über Faktorisieren ↗
- Speziell für eine zusammengesetzte Funktion ↗
Aufgaben dazu?
Einige Aufgaben zum Satz vom Nullprodukt sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Aufgaben gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck