Satz des Vieta
Gleichungen
Basiswissen
Der Satz des ist eine oft einfache und schnelle Methode zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Mit ihm kann man auch von zwei ausgedachten Lösungen rückwärts eine Gleichung aufstellen. Beides ist hier kurz erklärt.
Formal
- Man hat eine quadratische Gleichung in Normalform: 0 = x²+px+q
- Angenommen die Gleichung habe die Lösungen: x₁ und x₂
- Dann gilt immer:
- p = -(x₁+x₂)
- p = x₁·x₂
Beispiele
- 0 = x² - 8x + 15
- x₁ = 5
- x₂ = 3
- p = -(5+3) = -8 ✔
- q = 5·3 = 15 ✔
In Worten
- Die Gegenzahl der Summe der beiden Lösungen gibt immer den Koeffizienten p der Normalform.
- Das Produkt der Lösungen gibt immer das absolute Glied q der Normalform.
Vieta rückwärts: Gleichung aufstellen
- Man sucht eine quadratische Gleichung in der Form 0 = x² + px + q
- Man denkt sich zwei gewünschte Lösungen a und b aus, z. B. 4 und 12.
- p ist immer -(a+b), hier also -(4+12) = -16
- q ist immer a·b, hier also einfach 4·12 = 48
- Die gesuchte Gleichung ist dann:
- 0 = x² - 16x + 48 ✔