Punktsymmetrie von Graphen
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Basiswissen
Wie für irgendeine Figur aus der Geometrie gilt auch für Graphen von Funktionen: wenn der Graph irgendeinen Symmetriepunkt hat, dann nennt man ihn punktsymmetrisch. Wenn dieser Symmetriepunkt der Ursprung (0|0) des Koordinatensystems ist, dann ist die entsprechende Funktion zusätzlich auch eine gerade Funktion. Das ist hier näher erklärt.
Kurzinfos zur Punktsymmetrie von Graphen
- In der Schulmathematik meint das meist punktsymmetrisch zum Ursprung [(0|0)] ↗
- In der Schulmathematik geht es meist um sogenannte ungerade Funktionen ↗
- Punktsymmetrie meint dann: man kann des Graph um 180° drehen ohne, dass er sich verändert.
Punktsymmetrie als Symmetrie zum Ursprung (0|0)
- In der Schulmathematik steht Punktsymmetrie meist für punktsymmetrisch zum Ursprung ↗
- Mit Ursprung meint man den Punkt (0|0), den sogenannten Koordinatenursprung ↗
- Der Graph einer Funktion ist dann am Ursprung (0|0) punktgespiegelt.
Merksatz 1.0: Punktsymmetrie steht oft für die Punktsymmetrie zum Punkt (0|0).
Nimmt man irgendeinen Punkt der Kurve der Funktion[1], das heißt des Funktionsgraphen, und zieht man von dort eine Linie zu (0|0), und geht man dann auf der anderen Seite von (0|0) genauso weit weiter in einer geraden Richtung, dann ist man wieder genau auf dem Graphen. Wenn das für jeden Punkt auf der Kurve der Funktion geht, dann ist der Graph punktsymmetrisch ↗
Was heißt Punktsymmetrie für Funktionswerte?
- Bei punktsymmetrischen Graphen gilt immer:
- Setzt man für x eine Zahl ein, dann ergibt das einen y-Wert.
- Setzt man für x die entsprechende Gegenzahl ein (mit Minus), ...
- dann kriegt man denselben Funktionswert nur mit umgekehrten Vorzeichen.
- Kurz: Die Funktionswerte von Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich im Vorzeichen.
- Formal: f(x) = -f(-x).
Merksatz 2.0: setzt man einen x-Wert und denselben x-Wert nur mit negativen Vorzeichen ein, dann unterscheiden sich auch die beiden dazugehörigen y-Werte nur in ihrem Vorzeichen.
Das klassische Beispiel ist die Funktion f(x)=x³. Setzt man x=2 in den Funktionsterm[2] ein, so rechnet man 2³, also 2·2·2 und erhält als Ergebnis 8. Setzt man für x die negative Zahl -2 ein, so rechnet man (-2)³ oder (-2)·(-2)·(-2) und erhält als Funktionswert die negative Zahl -8. Genau das besagt f(x) = -f(-x).
Was hat Punktsymmetrie mit einer Drehung zu tun?
Wenn man den Graphen um 180 Grad um (0|0) dreht, dann sieht er wieder genauso aus wie vorher. Man sagt: Die 180-Grad-Drehung bildet ihn wieder auf sich selbst ab. Das geht mit punktsymmetrischen Graphen immer.
Merksatz 3.0: Dreht man den Graphen einer punktsymmetrischen Funktion um 180°, so sieht das Ergebnis genauso aus wie der ursprüngliche Graph.
Nimm zur Veranschaulichung einer dünnen langen Stift oder einen Stab und lege ihn als Gerade so in ein Koordinatensystem, dass er von links unten kommend durch den Koordinatenursprung geht und dann nach rechts oben weitergeht. Das wäre dann in etwa der Graph von f(x)=x, was ein punktsymmetrischer Graph ist. Drehe den Stift dann um 180°. Er liegt dann genauso im Koordinatensystem wie vorher. Siehe auch Drehung ↗
Punktsymmetrie allgemein, nicht nur zu (0|0)
- In der Schulmathematik wird Punktsymmetrie oft nur auf den Punkt (0|0) bezogen.
- Ein Graph kann aber auch symmetrisch zu einem ganzen anderen Punkt sein.
- So ist zum Beisiel die Gerade g(x)=2x+1 punktsymmetrisch zum Punkt (0|1).
- Siehe auch Symmetriepunkt ↗
Merksatz 4.0: Ein Funktionsgraph kann auch zu Punkten abseits des Koordinatenursprungs (0|0) symmetrisch sein.
Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sagt man am besten immer, worauf sich die Symmetrie bezieht: gut ist: "Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)." Oder auch: "Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|3)." Nicht gut, weil mehrdeutig ist: "Der Graph ist punktsymmetrisch." Beim letzten Beispiel bleibt unklar, wozu der Punkt symmetrisch sein soll. Siehe auch Mehrdeutigkeiten ↗
Welche Graphen sind immer punktsymmetrisch zu (0|0)?
In der Schulmathematik betrachtet man die Punktsymmetrie meist am Beispiel der sogenannten ganzrationalen Funktionen. Dazu gehören zum Beispiel alle linearen, alle quadratischen und alle kubischen (hoch drei) Funktionen[3]. Solche ganzrationalen Funktionen können - müssen aber nicht punktsymmetrisch zu (0|0) sein. Ist eine ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zu (0|0), nennt man sie auch eine ungerade Funktion ↗
Merksatz 5.0 Ganzrationale Funktionen die punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) sind nennt man ungerade.
- Weitere Beispiele für punktsymmetrische Funktionen zu (0|0) sind:
- Jede ungerade Funktion ↗
Wie erkennt man Punktsymmetrie an einer Funktionsgleichung?
Ob der Graph einer Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, kann man speziell für ganzrationale Funktionen mit der Exponentenregel[6] leicht erkennen. Sind alle Exponenten (Hochzahlen) von x ungerade, dann ist die Funktion sicher punktsymmetrisch zum Ursprung. Dabei gilt: x ist wie x¹[4] und eine reine Zahl, etwa die Zahl 4 ist wie 4·x⁰[5]. Ein x hat also den Exponenten 1 und eine reine Zahl hat den Exponenten 0. Mehr unter Exponentenregel der Graphensymmetrie ↗
Merksatz 6.0: sind bei einer ganzrationalen Funktionen alle Exponenten von x eine ungerade Zahl, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zu (0|0).
Wie kann man einen Graphen punktspiegeln an (0|0)?
- Dazu gibt es zwei praktisch-anschauliche Methoden.
- Man kann ihn schrittweise über die x- und y-Achse spiegeln.
- Oder man dreht ihn einfach um 180° um den Punkt (0|0).
- Beide Verfahren führen immer zum selben Ergebnis.
Punktspiegeln über x- und y-Achsen
- Ein gegebener Graph mit Funktionsgleichung soll punktgespiegelt werden.
- Man nimmt dazu einen beliebigen Punkt auf dem Graphen.
- Man spiegelt ihn zuerst an der x-Achse.
- Aus dem Punkt (4|2) wird dann zum Beispiel: (4|-2)
- Dann spiegel man diesen neuen Punkt an der y-Achse.
- Aus dem Punkt (4|-2) wird dann der Punkt: (-4|-2)
- Das mit allen Punkten des Graphen gemacht ergibt eine Punktspiegelung.
- Mehr dazu unter Punktspiegelung von Graphen ↗
Punktspiegelung über die Stecknadel-Methode
- Man stellt sich die Koordinatenachsen auf den Tisch gezeichnet vor.
- Der eigentliche Graph (die Kurve alleine) wäre auf Klarsichtfolie gezeichnet.
- Man sticht gedanklich eine Stecknadel durch die Folie in den Punkt (0|0).
- Dann dreht man die Folie um 180° (Halbkreis).
- Dabei sind die x- und y-Achse an der alten Stelle geblieben.
- Die gedrehte Folien-Kurve ist die punktgespiegelte Funktion.
- Siehe auch Punktsymmetrie von Graphen überprüfen ↗
Fußnoten
- [1] Die Kurve ist die eigentliche Linie der Funktion. Zum Graphen gehören eigentlich auch die Achsen und Beschriftungen. Siehe mehr unter Funktionsgraph ↗
- [2] Bei f(x)=x³ ist der Term x³ der Funktionsterm ↗
- [3] Ganzrational sind zum Beispiel alle Geraden (lineare Funktionen), alle quadratischen und alle kubischen (hoch-drei) Funktionen. Siehe mehr unter ganzrationale Funktion [Definition] ↗
- [4] Bei f(x)=4x³+2x sind die Exponenenten von x die Hochzahlen 3 und 1. Da ein x vom Wert her dasselbe ist wie ein x¹ kann man sich für jedes x den unsichtbaren Exponenten "hoch 1" dazudenken. Siehe auch unsichtbare Eins ↗
- [5] Bei f(x)=4x³+4 sind die Exponenten von x die Hochzahlen 3 und 0. Denn 4 ist dasselbe wie 4·x⁰. Der Grund dafür ist, dass x⁰ (fast) immer die Zahl eins ergibt. Irgendetwas hoch null gibt (fast) immer 1. Siehe mehr unter hoch Null ↗
- [6] Siehe mehr dazu unter Exponentenregel der Graphensymmetrie ↗