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Punktsymmetrie von Graphen


Übersicht


Basiswissen


Wie für irgendeine Figur aus der Geometrie gilt auch für Graphen von Funktionen: wenn der Graph irgendeinen Symmetriepunkt hat, dann nennt man ihn punktsymmetrisch. Wenn dieser Symmetriepunkt der Ursprung (0|0) des Koordinatensystems ist, dann ist die entsprechende Funktion zusätzlich auch eine gerade Funktion. Das ist hier näher erklärt.

Kurzinfos zur Punktsymmetrie von Graphen



Punktsymmetrie als Symmetrie zum Ursprung (0|0)



Merksatz 1.0: Punktsymmetrie steht oft für die Punktsymmetrie zum Punkt (0|0).

Nimmt man irgendeinen Punkt der Kurve der Funktion[1], das heißt des Funktionsgraphen, und zieht man von dort eine Linie zu (0|0), und geht man dann auf der anderen Seite von (0|0) genauso weit weiter in einer geraden Richtung, dann ist man wieder genau auf dem Graphen. Wenn das für jeden Punkt auf der Kurve der Funktion geht, dann ist der Graph punktsymmetrisch ↗

Was heißt Punktsymmetrie für Funktionswerte?



Merksatz 2.0: setzt man einen x-Wert und denselben x-Wert nur mit negativen Vorzeichen ein, dann unterscheiden sich auch die beiden dazugehörigen y-Werte nur in ihrem Vorzeichen.

Das klassische Beispiel ist die Funktion f(x)=x³. Setzt man x=2 in den Funktionsterm[2] ein, so rechnet man 2³, also 2·2·2 und erhält als Ergebnis 8. Setzt man für x die negative Zahl -2 ein, so rechnet man (-2)³ oder (-2)·(-2)·(-2) und erhält als Funktionswert die negative Zahl -8. Genau das besagt f(x) = -f(-x).

Was hat Punktsymmetrie mit einer Drehung zu tun?


Wenn man den Graphen um 180 Grad um (0|0) dreht, dann sieht er wieder genauso aus wie vorher. Man sagt: Die 180-Grad-Drehung bildet ihn wieder auf sich selbst ab. Das geht mit punktsymmetrischen Graphen immer.

Merksatz 3.0: Dreht man den Graphen einer punktsymmetrischen Funktion um 180°, so sieht das Ergebnis genauso aus wie der ursprüngliche Graph.

Nimm zur Veranschaulichung einer dünnen langen Stift oder einen Stab und lege ihn als Gerade so in ein Koordinatensystem, dass er von links unten kommend durch den Koordinatenursprung geht und dann nach rechts oben weitergeht. Das wäre dann in etwa der Graph von f(x)=x, was ein punktsymmetrischer Graph ist. Drehe den Stift dann um 180°. Er liegt dann genauso im Koordinatensystem wie vorher. Siehe auch Drehung ↗

Punktsymmetrie allgemein, nicht nur zu (0|0)



Merksatz 4.0: Ein Funktionsgraph kann auch zu Punkten abseits des Koordinatenursprungs (0|0) symmetrisch sein.

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, sagt man am besten immer, worauf sich die Symmetrie bezieht: gut ist: "Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)." Oder auch: "Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|3)." Nicht gut, weil mehrdeutig ist: "Der Graph ist punktsymmetrisch." Beim letzten Beispiel bleibt unklar, wozu der Punkt symmetrisch sein soll. Siehe auch Mehrdeutigkeiten ↗

Welche Graphen sind immer punktsymmetrisch zu (0|0)?


In der Schulmathematik betrachtet man die Punktsymmetrie meist am Beispiel der sogenannten ganzrationalen Funktionen. Dazu gehören zum Beispiel alle linearen, alle quadratischen und alle kubischen (hoch drei) Funktionen[3]. Solche ganzrationalen Funktionen können - müssen aber nicht punktsymmetrisch zu (0|0) sein. Ist eine ganzrationale Funktion punktsymmetrisch zu (0|0), nennt man sie auch eine ungerade Funktion ↗

Merksatz 5.0 Ganzrationale Funktionen die punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) sind nennt man ungerade.


Wie erkennt man Punktsymmetrie an einer Funktionsgleichung?


Ob der Graph einer Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist, kann man speziell für ganzrationale Funktionen mit der Exponentenregel[6] leicht erkennen. Sind alle Exponenten (Hochzahlen) von x ungerade, dann ist die Funktion sicher punktsymmetrisch zum Ursprung. Dabei gilt: x ist wie x¹[4] und eine reine Zahl, etwa die Zahl 4 ist wie 4·x⁰[5]. Ein x hat also den Exponenten 1 und eine reine Zahl hat den Exponenten 0. Mehr unter Exponentenregel der Graphensymmetrie ↗

Merksatz 6.0: sind bei einer ganzrationalen Funktionen alle Exponenten von x eine ungerade Zahl, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zu (0|0).

Wie kann man einen Graphen punktspiegeln an (0|0)?



Punktspiegeln über x- und y-Achsen



Punktspiegelung über die Stecknadel-Methode



Fußnoten