pq-Formel

Übersicht

Basiswissen

• p/2 ± √((p/2)²-q) ist die Standardformel zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Die Gleichung muss dabei in der sogenannten Normalform gegeben sein: 0 = x² + px + q. Das ist näher erklärt.
  

Schreibweisen für die pq-Formel

• x = -p/2 ± Wurzel aus [(p/2)²-q]
  

• x = -p/2 ± √[(p/2)²-q]
  

Wann kann man die pq-Formel nutzen?

• Die pq-Formel gilt nur für eine quadratische Gleichung ↗
  

• Mit der pq-Formel kann man jede quadratische Gleichung lösen.
  

• Man braucht immer die Normalform der quadratischen Gleichung ↗
  

• Das wird hier jetzt näher erklärt.
  

1. Schritt: Normalform prüfen

• 0 = x² + px + q
  

• Links vom Gleichzeichen darf nur 0 stehen.
  

• Rechts kommt zuerst das x² ohne irgendetwas davor.
  

• Dann darf ein + oder - mit einer Zahl und einem x danach kommen.
  

• Am Ende darf ein + oder - mit einer Zahl ohne x kommen.
  

• Normalform nicht OK: 4=x²-8x+16 | links keine 0
  

• Normalform nicht OK: 0=2x²-8x+16 | 2 vor dem x²
  

• Normalform nicht OK: 0=-x²-8x+16 | - vor dem x²
  

• Normalform OK: 0=x²-8x+16 ✔
  

• Normalform OK: 0=x²+4x+0 ✔
  

• Normalform OK: 0=x²+0x+4 ✔
  

• Normalform OK: 0=x²+0x+0 ✔
  

2. Schritt: Normalform herstellen

• Falls man noch nicht die Normalform hat, ...
  

• dann muss man sie durch Umformen herstellen.
  

• Siehe unter Normalform für pq-Formel herstellen ↗
  

3. Schritt p und q festlegen

• Man hat die Normalform: 0 = x² - 8x + 15
  

• p und q aus der Normalform ablesen:
  

• Das p ist der Faktor (Zahl) vor dem x.
  

• Achtung: das Vorzeichen gehört dazu.
  

• Im Beispiel ist das p die Zahl -8.
  

• Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
  

• Im Beispiel ist das p die +15
  

Tipp

• Ein Vorzeichen gehört immer mit zur Zahl.
  

• Wenn vor dem x keine Zahl steht, dann ist p=1.
  

Sonderfall: das p fehlt

• Wenn es gar kein x ohne Quadrat gibt, dann ist p=0.
  

• Beispiel: 0 = x² + 16 ⭢ p = 0
  

Sonderfall: das q fehlt

• Wenn es am Ende keine Zahl für q gibt, dann ist q=0.
  

• Beispiele: 0 = x² - 4x ⭢ q = 0
  

4. Schritt: p und q in Formel einsetzen

• Setze die Zahlen von oben für p und q ein:
  

• Erste Nullstelle: x₁ = -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
  

• Zweite Nullstelle: x₂ = -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]
  

Tipp: wie viele Lösungen es geben kann

• Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante.
  

• Ist die Diskriminante kleiner als Null, dann gibt es keine Lösungen.
  

• Ist die Diskriminante genau gleich Null, dann gibt es genau eine Lösung.
  

• ist die Diskriminante größer als Null, dann gibt es zwei Lösungen.
  

• Mehr unter Diskriminante bei pq-Formel ↗
  

Beispiel I

Beispiel II

Beispiel III

Aufgaben dazu