Potenzfunktion


f(x) = a·xⁿ


Definition


f(x) = 2x³ ist eine typische Potenzfunktion: als Potenzfunktion im engeren Sinn bezeichnet man jede Funktion, die man umformen kann in f(x) = Zahl·xⁿ. Für das kleine n darf man dabei irgendeine natürliche Zahl (1; 2; 3...) einsetzen. Es gibt noch zwei weitere Verallgemeinerungen zu dieser Definition. Das ist hier alles kurz vorgestellt.

f(x) = a·xⁿ


◦ Die natürliche Potenzfunktion:
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^n:
◦ Dies ist die Potenzfunktion im engsten Sinn.
◦ Damit sind Funktionsterme möglich wie: 0,5·x², 14x³ oder auch x⁹⁹
◦ In der Schulmathematik wird meist die Definition f(x) = a·xⁿ verwendet.
◦ Das a darf dabei irgendeine beliebige reelle Zahl (außer der 0) sein.
◦ Das n ist auf natürliche Zahlen (1; 2; 3; 4...) ohne die 0 beschränkt.
◦ Der Graph ist entweder eine Gerade oder eine => Parabel n-ter Ordnung
◦ Den Funktionsterm nennt man auch ein => Monom

f(x) = a·xᶻ


◦ Die ganzzahlige Potenzfunktion:
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^z:
◦ Das ist die Potenzfunktion engeren Sinn.
◦ Sie wird gelegentlich in der Schulmathematik behandelt.
◦ Als Exponent für das x dürfen jetzt alle ganzen Zahlen eingesetzt werden.
◦ Möglich sind als zum Beispiel Terme wie: 2·x⁻⁹ oder x° oder 0,01x⁻³
◦ Der Graph heißt für positive z => Parabel n-ter Ordnung
◦ Der Graph heißt für negative z => Hyperbel n-ter Ordnung
◦ Für z = 0 ist der Graph eine => Gerade
◦ Je nach z-Wert gibt es eine => Definitionslücke

f(x) = a·xʳ


◦ Die allgemeine Potenzfunktion
◦ Auch geschrieben als f(x) = a·x^r:
◦ x ist per Definition meist auf x>0 beschränkt.
◦ Das ist die Potenzfunktion im allgemeinen Sinn.
◦ Das kleine r steht für beliebige reelle Zahlen.
◦ Reell ist jede Zahl, die irgendwo auf der Zahlengeraden liegt.
◦ Diese Definition erlaubt für r Werte wie etwa: 0,5, √2 oder -0,3333
◦ Man kann keine allgemeinen Aussagen mehr über Definitionsbereich und Graphen machen.
◦ Für r=0 wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion, für r=1 zu einer lineare.
◦ Andere Werte ergeben als Graphen Hyperbeln und Parabeln, auch höherer Ordnung.
◦ Diese Definition [1] wird normalerweise in der Schulmathematik nicht verwendet.

Quellen


◦ [1] Spektrum Lexikon der Mathematik. Online. Artikel zur Potenzfunktion. 27. Sept. 2021: www.spektrum.de/lexikon/mathematik/potenzfunktion/8013