Nullstellen von quartischen Funktionen bestimmen
Übersicht
Basiswissen
f(x)=x⁴-81: quartisch nennt man eine ganzrationale Funktion bei der der höchste Exponent von x die Zahl 4 ist. Dafür gibt es verschiedene Lösungsverfahren für Nullstellen: Probieren, Nullprodukt und Faktorisieren. Diese sind hier mit Beispielen vorgestellt.
Was ist immer der erste Schritt?
Zuerst setzt man das f(x) gleich 0. Statt f(x) steht auch manchmal ein y. Egal ob f(x) oder y: immer erst das gleich 0 setzen. Beispiel: aus f(x)=x⁴-81 macht man 0=x⁴-81. Man hat jetzt eine quartische Gleichung, die man lösen kann.
Wie findet man das passende Verfahren?
Quartische Funktionen heißen auch ganzrationale Funktionen vierten Grades oder Polynomfunktionen vierten Grades. Es gibt bei ihnen immer einen Term mit x-hoch-4. Es können - müssen aber nicht - weitere Terme mit x³, x², x¹ oder ohne x auftreten. Außerdem können die Funktionsterme in verschiedenen Formen vorliegen. Welches Lösungsverfahren für die Nullstellen man nimmt, hängt von den auftretenden Potenzen von x sowie der vorliegenden Form des Funktionstermes ab. Der erste Schritt ist es also immer, sich den Funktionsterm genau anzusehen und bewusst ein Verfahren zu wählen. Hier kommen jetzt einige häufige Typen:
0 = x⁴-16
Der Funktionsterm ist so einfach, dass man leicht für x Werte einsetzen kann. Dann ist Probieren die beste Methode. Man setzt für x irgendewelche Zahlen ein. Kommt bei einem x-Wert links für das f(x) dann 0 heraus, dann war der eingesetzte x-Wert eine Lösung. Viele Gleichungen aus der Schulmathematik haben Lösungen wie etwa -3; -2; 1 oder 3. Bei der Gleichung oben würden die x-Werte 2 und die -2 die Gleichung lösen. Siehe auch Gleichungen lösen über Probieren ↗
0 = 2x^4+2x^3-6x^2-162
Alle Koeffizienten sind nur ganze Zahlen (auch negativ ist erlaubt): das schränkt die Lösungsmenge sofort deutlich ein. Es gibt dann wenige wenige mögliche Lösungen, die man durch Probieren leicht überprüfen kann. Siehe dazu unter quartische Gleichungen über Teilermethode ↗
0 = (x+4)(x-3)(x+17)(14-2x)
Der Funktionsterm besteht nur aus Klammern: : Hier ist die rechte Seite also vollständig faktorisiert. Wenn eine dieser Klammern zu Null wird, dann wird die ganze Malkette zu Null. Also kann man sich die Klammern einzeln betrachten und fragen: für welches x wird diese Klammer zu Null? Das macht man dann mit jeder Klammer. Jedes x, das eine Klammer zu Null macht, ist eine Lösung. Hier wären es die Zahlen -4; 3; -17 und 10. Siehe auch Gleichungen lösen über Satz vom Nullprodukt ↗
0 = x⁴ + 6x³ - 2x² + 4x
Hier fällt auf, dass alle Glieder ein x haben. Es gibt kein Glied ohne x. Immer, wenn das so ist, dann kann man ein x ausklammern. Dadurch entsteht eine Malkette. Klammern wir erst einmal ein x aus. Das gibt auf der rechten Seite: (x)(x³+6x²-2x+4). Etwas in eine Malkette umformen nennt man auch Faktorisieren. Jetzt kann man wieder den Gedanken mit dem Nullprodukt anwenden. Für die linke Klammer passt x=0. Bei der rechten Klammer muss man dann eine kubische Gleichung lösen (siehe dort). Siehe auch Gleichungen lösen über Faktorisieren ↗
0 = 2x⁴-16x²+30
Hier kommen im Funktionsterm als einzige Exponenten von x die Zahlen 4 und 2 vor. Immer wenn das so ist, dann kann man die Substitution x²=z anwenden. Wie das genau geht, ist auf einer anderen Seite erklärt. Siehe auch Biquadratische Gleichungen lösen über Substitution ↗
Polynomdivision
Hat man von der Funktion bereits eine Nullstelle gefunden, dann kann man durch eine sogenannte Polynomdivision den Funktionsterm Faktorisieren. Wie das geht, ist hier aber nicht erklär. Siehe auch Polynomdivision ↗
Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine Alternative zur Polynomdivision. Auch bei diesem Verfahren muss man eine erste Nullstelle kennen, bevor man dann weiter machen kann. Siehe auch Horner-Schema (externer Link)
Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren gehört zu den sogenannten numerischen Verfahren. Numerisch meint, dass man durch ein systematisches Probieren immer näher an die richtige Lösung kommt. Numerische Verfahren benutzt man vor allem auf Computern, die sehr schnell rechnen können. Siehe auch Newton Verfahren (externer Link)
