Nullstellen von biquadratischen Funktionen bestimmen
Übersicht
Basiswissen
Substitution, Nullprodukt, Faktorisieren, planvolles Probieren sowie auch einige exotische Verfahren: für biquadratische Funktionen wie zum Beispiel f(x) = x⁴ + x² - 12 gibt es verschiedene Verfahren zur Bestimmung der Nullsetzen. Das ist hier kurz erklärt.
Was heißt biquadratisch?
f(x) = x⁴ + x² - 12 ist eine typische biquadratische Funktion: als Potenzen von x kommen nur hoch-vier und hoch-zwei vor. Es gibt kein lineares Glied, als kein Glied mit x oder Zahl-mal-x. Erlaubt sind aber absolute Glieder, also plus oder minus eine Zahl ohne x. Mehr zur Definition unter biquadratische Funktion ↗
Am Anfang: immer gleich null setzen
Zuerst setzt man das f(x) gleich 0. Statt f(x) steht auch manchmal ein y. Egal ob f(x) oder y: immer erst das gleich 0 setzen. Beispiel:
- f(x) = x⁴ + x² - 12
- 0 = x⁴ + x² - 12
Nach dem Nullsetzen hat man eine biquadratische Gleichung. Zur Lösung gibt es verschiedene Verfahren. Welches man am besten nimmt, hängt von den konkreten Zahlen der Gleichung ab.
Probieren
0 = x⁴+x²-12: Diese Gleichung ist so einfach, dass man für x erst einmal einfache Zahlen einsetzen kann und prüft, ob die Gleichung dann (zufälligerweise) aufgeht. Bei der Gleichung oben würden die 2 und die -2 die Gleichung lösen.
Nullprodukt
0 = x²(x²-1): Hier ist die rechte vollständig faktorisiert, liegt also als eine Malkette aus zwei Faktoren vor. Der eine Faktor ist das x² und de andere die Klammer. Wenn einer der Faktoren Null wird, dann wird die ganze rechte Seite zu Null (Satz vom Nullprodukt). Zahlen, die für x eingesetzt das können, sind Lösungen. Durch Hinsehen findet man als Lösungen die 0, die -1 und die 1.
Faktorisieren
0 = x⁴-x²: Durch Ausklammern von x² kann man aus der Differenz eine Malkette machen. Dann kann man weitermachen wie beim Verfahren mit dem Nullprodukt. Die Malkette wäre hier x²(x²-1). Faktorisieren geht nur, wenn alle Glieder des Funktionsterms ein x enthalten. Gibt es eine Glied nur mit einer Zahl, kann man nicht faktorisieren. Beispiel: "x⁴ + x² - 12" kann man nicht faktorisieren.
Substitution
0 = 2x⁴-16x²+30: hier kommen im Funktionsterm als einzige Exponenten von x die Zahlen 4 und 2 vor. Immer wenn das so ist, dann kann man die Substitution x²=z und x⁴=z² anwenden. Wie das genau geht, ist auf einer anderen Seite erklärt.
Polynomdivision
Hat man von der Funktion bereits eine Nullstelle gefunden, dann kann man durch eine sogenannte Polynomdivision den Funktionsterm Faktorisieren. Wie das geht, ist hier aber nicht erklär.t
Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine Alternative zur Polynomdivision. Auch bei diesem Verfahren muss man eine erste Nullstelle kennen, bevor man dann weiter machen kann.
Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren gehört zu den sogenannten numerischen Verfahren. Numerisch meint, dass man durch ein systematisches Probieren immer näher an die richtige Lösung kommt. Numerische Verfahren benutzt man vor allem auf Computern, die sehr schnell rechnen können.