Monotoniesatz
Analysis
Basiswissen
Wie man Monotonien an f'(x) erkennt wird im sogenannten Monotoniesatz zusammengefasst: wo die erste Ableitung einer Funktion negativ ist, ist diese Funktion streng monoton fallend, ihr Graph geht dort von links nach rechts gesehen bergab. Umgekehrt ist eine Funktion streng monoton steigend wo ihre erste Ableitung positiv ist und der Graph von links nach rechts gesehen ansteigt. Das ist hier näher erklärt.
Monotoniesätze
- f'(x) < 0 heißt: f(x) ist streng monoton fallend ↗
- f'(x) > 0 heißt: f(x) ist streng monoton steigend ↗
Erläuterung
In Intervallen (zusammenhängende Bereiche von x-Werten), in denen die Funktionswerte der ersten Ableitung f'(x) alle kleiner sind als 0 (also negativ), ist die eigentliche Funktion f(x) monoton fallend. In Intervallen, in denen die Funktionswerte der ersten Ableitung f'(x) alle größer sind als 0 (also negativ), ist die eigentliche Funktion f(x) monoton steigend.
Beispiel f(x)=x²
- f(x) = x²
- f'(x) = 2x
- für x<0 sind auch alle Funktionswerte von f'(x) kleiner als 0.
- Also ist der Grap von f(x) dort monoton fallend.
- für x>0 sind auch alle Funktionswerte von f'(x) größer als 0.
- Also ist der Grap von f(x) dort monoton steigend.
- Siehe auch f(x)=x² ↗